CHAPITRE V

Du mouvement relatif.

209. Les propriétés du mouvement que nous avonsétablies jusqu'ici se rapportent au mouvement absolu^ c'est-à-dire qu'elles supposent que le mouvement soit rapporté à un système de trois axes fixes dans l'espace»

Nous nous proposons maintenant d'étudier le mouvement apparent ou relatif, c'est-à-dire le mouvement rapporté à un système de comparaison qui se déplace constamment par rapport au système fixe.

On pourrait, pour étudier le mouvement relatif, commencer par déterminer le mouvement absolu du corps, comme nous l'avons fait précédemment, puis passer du mouvement absolu au mouvement relatif par un changement de coordonnées. Mais, il faut observer que cette méthode serait très laborieuse, et même» elle serait impossible si les forces motrices dépendaient du mouvement relatif du corps. Il est donc préférable de former directement les équations diflFérentielles du mouvement d'un point ou d'un système en rapportant ce mouvement à un système de comparaison animé d'un mouvement connu.

210. Nous commencerons par l'étude du mouvement relatif (Tun point libre.

Soient Oo?, Oy, 0^ trois axes rectangulaires mobiles auxquels se réduit le système de comparaison, jt>, g, r les composantes de la rotation suivant ces axes à la lin du temps t ; a?, y, z les coordonnées relatives du point mobile à cet instant, X, Y, Z les composantes suivant ces mêmes axes de la force motrice P qui détermine le mouvement absolu.

On sait (I, n** 165) que l'accélération cp^ du mouvement relatif est la résultante de l'accélération (p^ du mouvement absolu, de l'accélération du mouvement d'entraînement prise en sens contraire — ?e» et de l'accélération complémentaire prise en sens contraire — cp^ — — 2(ùVr sin a. Nous aurons donc, d'après cela, suivant l'axe des œ :

Çr, X ■" <p«, X — Ce, X •"" Çc, X9

OU bien :

^ 1 dz dy\

Tr, ^-^a,x-^e.x-2\^q'^-'r-^y

Or, la force P est représentée en grandeur et en direction par l'accélération absolue (fa du point m, multipliée par la masse de ce point ; par conséquent,

X = m^Va^x' D'autre part, les composantes de l'accélé-

d^ùj d"!! d^£ ration relative çr sont •-^» -i~i -172- • Nous aurons,

en multipliant par m les deux membres de l'équation précédente et des deux équations analogues relatives aux axes des y et des z :

~ 301 — dt

^^dHj „ ^ I dx dz\

.. ^^"-^ rr r. / ày dx\

Ce sont ?(?5 équations diffé^^entielles du tnouvement 7*elaUf d\in point libre.

211. Il est facile d'interpréter ces équations qui nous apprennent que la force mç,- est la résultante de la force P et des deux forces — mffe et — mrfc : ces deux dernières portent le nom de forces apparentes ou forces fictives. La force m(fr est évidemment la force qui, appliquée au point m supposé libre, lui communiquerait une accélération absolue és*ale à son accélération relative. La force — mv^ est la force d'inertie du point m, supposé entraîné par le mouvement des axes mobiles : on l'appelle force dUnertie d entraînement ^ ou réaction d'entraînement. La force — ??2?c» ^lui agît en sens contraire de l'accélération complémentaire, est la force centrifuge cornposée. On a donc le théorème suivant :

Théorème. — Le mouvement relatif d!un point matériel libre y rapporté à un système de comparaison mobile^ peut être traité comme un mouvement absolu^ pourvu que Von joigne à la force motrice P (ou à la résidtante de toutes les forces qui agissent 7'éellement sur ce point) deux forces fictives ou apparentes, savoir : la force d'inertie d'entraînement, et la force centrifuge composée.

212. Il résulte de là que les théorèmes généraux de la Dynamique du point matériel sont applicables au mouvement relatif de ce point par rapport à des

axes mobiles, comme à son mouvement absolu, pourvu que l'on introduise dans les formules et les énoncés les •deux forces fictives dont nous venons de parler.

213. Remarque I. — Si le point matériel n'est pas libre, mais assujetti à certaines conditions, par exemple à se mouvoir sur une surface ou sur une courbe, on ramène le problème au cas du point libre, en ajoutant aux composantes X, Y, Z de la force motrice suivant les axes mobiles, les composantes suivant ces mêmes axes de la réaction normale de la surface ou de la courbe, ce qui introduit de nouvelles inconnues. Mais alors les équations de la surface ou de la com^be, que nous supposerons rapportées aux axes mobiles Oo?, Oy, 0-3:, nous fourniront de nouvelles équations en nombre suffisant pour déterminer les fonctions inconnues.

214. Remarque II. — Les forces fictives peuvent dans certains cas se réduire à une seule, ou disparaître complètement.

En effet, il résulte de ce que nous avons vu (I, n"^ 164) que la force centrifuge composée est nulle :

F pour « = 0, c'est-à-dire lorsque le mouvement d'entraînement se réduit à une simple translation ;

2® pour i;^ = 0, c'est-à-dire lorsque la vitesse relative est nulle ; alors le point est en repos relatif;

3° pour a = 0, c'est-à-dire lorsque la vitesse relative est parallèle à l'axe instantané de rotation.

Dans ces trois cas, les forces apparentes se réduisent à la force d'inertie d'entraînement.

La force d'inertie d'entraînement est nulle, lorsque le mouvement d'entraînement est une translation rectiligne et uniforme (I, n° 164) ; car, alors ç^ = 0. Dans ce dernier cas, les deux forces fictives sont nulles : il n'y a donc aucune force apparente à joindre aux forces motrices.

215. Remarquons encore que l'accélération complémentaire fc étant perpendiculaire à la vitesse relative, il en résulte que le travail relatif de la force centrifuge composée est toujours nul, et, par conséquent, cette force n'entrera pas dans le théorème de forces vives appliqué au mouvement relatif.

Mouvement apparent d'un point matériel à la surface de la Terre.

216. La terre est animée d'un mouvement de translation dans l'espace, et d'un mouvement de rotation uniforme autour de la ligne des pôles. Ce dernier mouvement s'effectue de l'Ouest à l'Est. Il est facile de s'assurer que l'on peut faire abstraction du mouvement de translation et ne considérer que celui de rotation. En effet, si le mouvement de translation était rectiligne et uniforme, il serait rigoureusement sans influence, puisque la force d'inertie d'entraînement et la force centrifuge composée seraient nulles (n"* 214) ; d'autre part, quel que soit le mouvement de translation, son influence est à peu près nuUe pour chaque point de la terre : en effet,' ce mouvement est dû à l'action du Soleil et des planètes, et cette action est sensiblement la même en grandeur et en direction pour tous les points du globe. Or, si l'on tient compte des forces apparentes qui correspondent à ce mouvement, on devra aussi tenir compte des forces réelles qui le produisent, et ces deux systèmes de forces se font sensiblement équilibre.

Nous ferons donc abstraction du mouvement de translation, et nous ne tiendrons compte que du mouvement de rotation.

217. Cela posé, considérons la Terre comme tournant d'un 7nouvement uniforme autour de son axe^ que nous supposerons fixe, de l'Ouest à l'Est, avec une vitesse angulaire constante «. Comme la terre effectue un tour entier en 86164 secondes (jour sidéral), nous aurons :

2Tr

Il résulte de là que « est très petit, ainsi que ses composantes p, g, r suivant les axes rectangulaires OXy Oy, Oz. Il s'ensuit que, si la vitesse relative Vr n'est pas très grande, ou si elle est nulle (ce qui arrive dans le cas du repos apparent), ou si elle est parallèle h l'axe du globe (a = 0), les forces centrifuges composées pourront être négligées dans les équations du mouvement relatif, et nous ne devrons joindre à la force motrice P que la force d'inertie d'entraînement.

Cherchons donc à déterminer cette force d'inertie d'entraînement. A cet effet, observons que le point 7n dans la rotation autour de l'axe PP' (fig. 43) décrit un cercle d'un mouveme*nt uniforme.

Or, dans ce cas (I, n° 164), Taccélération du point se réduit à sa composante centripète «•r (r étant la distance mn du point m à l'axe PP).

La force d'inertie d'entraînement se réduit donc à la force centrifuge morr, due au mouvement de rotation

Fig. 43.

AeV^

autour de PP' : elle est dirigée suivant le prolongement m A du rayon /• du parallèle passant pai* le point m, et elle a pour expression mo^ . mn = mtù'^ Rcos>,. en désignant par R le rayoti de la terre, et par X la latitude du point m.

L'accélération centrifuge est toujours très faible; car, à l'équateur où Ton a :

elle est maximum et a pour expression :

(oV =-0,03398.

218. Si donc on veut étudier le mouvement apparent d'un point libre soumis uniquement à l'attraction terrestre, on devra joindre à la force motrice «^B qui est l'attraction terrestre, la force centrifuge mA correspondante à la position du mobile dans sa rotation autour de PP'. Or, la résultante mC de ces deux forces est ce que l'on appelle le poids du corps : c'est la force égale et opposée à celle qu'il faudrait appliquer au point m supposé en repos apparent pour qu'il reste en équilibre. C'est le produit de la masse du point matériel par l'accélération g correspondante au point m y et'la direction de cette résultante est la verticale.^

1. On ne doit donc pas confondre le poids d'un ' corps avec Tait l'action que ce corps éprouve de la part de la terre. Le poids est la résultante de cette attraction et de la force centrifuge due à la rotation de la tei^re.

Ainsi donc, quand même la terre serait rigoureusement sphérique, la direction de la verticale (âl à plomb) ne serait pas celle de Tattraction terrestre sur le point m, mais celle de la résultante mC de cette attraction mB et de la force centrifuge m A. Il s'ensuit que, même dans le cas de la sphéricité, les verticides ne passeraient pas toutes par le centre de la terre. Cela n'arriverait qu'à l'équateur et aux deux pôles ; partout ailleurs , la force centriflige produit une déviation de la verticale par rapport au rayon terrestre. C'est la vraie cause de l'aplatissement du globe aux pôles. En effet, dans le cas où le point serait en repos apparent, il serait en équilibre sous l'action de cette résultante et de la réaction de la surface terrestre, normale à cette surface. Il s'ensuit que le globe terrestre a une forme ellipsoïdale telle que sa surface moyenne soit normale à toutes les verticales successives.

219. Remarque. — Il résulte de ce que nous venons de dire que, dans les problèmes du mouvement des corps pesants, nous avons implicitement tenu compte du mouvement de rotation de la terre, en remplaçant l'attraction terrestre par la pesanteur.

220. Propriété. — Il est évident que les raisonnements que nous avons faits seront applicables au cas où le point matériel serait soumis à l'action de plusieurs forces. En effet, parmi ces forces figure toiyours l'attraction terrestre qui s'exerce sur tous les points à la surface de la terre. Nous aurons donc le théorème suivant :

Théorème. — Dans Vétvde du mouvement relatif (JCun point matériel à la surface de la terre sous Vaction de forces et de liaisons quelconques^ on peut^ avec une approxim/ztion suffisante (sauf le cas de grandes vitesses), raisonner comme si la terre était

en repos, et appliquer les équations du mouvement absolu, pourvu que l'on remplace Vattrax^tion terrestre par la pesanteur.

221. Nous avons vu (n*^ 214) que, quand le point est en repos relatif, la force centrifuge composée est nulle. Il en sera de même lorsque le point étant en mouvement, la vitesse relative Vr est parallèle à l'axe du globe. Elle est encore négligeable lorsque la vitesse relative Vr est très petite : car, alors la force centrifuge composée est insensible, pourvu qu'elle n'agisse pas pendant un temps assez long. Sauf ces deux derniers cas, en d'autres termes, lorsque la vitesse relative est très grande, ou lorsque la force centrifuge composée agit dans le même sens pendant un temps assez long, les effets de cette force sont sensibles, et l'on doit en tenir compte dans les équations du mouvement relatif d'un point à la surface de la terre.

222. Étudions donc le mouvement relatif d'un point matériel à la surface de la terre. D'après ce que nous avons vu (n** 211), la force capable de produire l'accélération d'un point dans son mouvement relatif à la surface de la terre, est la résultante : V des forces réelles qui agissent sur ce point ; 2** de la force d'inertie d'entraînement (c'est la force centrifuge) ; 3** de la force centrifuge composée.

Les forces réelles comprennent les attractions exercées par la terre et les autres corps célestes, et ces actions composées avec la force d'inertie d'entraînement donnent le poids du corps que l'on désigne d'ordinaire par mg : les forces réelles comprennent donc le poids du corps, et toutes les autres forces extérieures qui agissent sur ce point.

Dans le cas particulier du mouvement relatif d^un point mxitéiHel pesant, ce point est soumis à Faction

de la pesanteur connue en grandeur et en direction, et à la force centrifuge composée.

223. Cherchons à déterminer les équations du mouvement de ce point.

Soient (flg. 44) Torigine fixe par rapport à la terre, prise dans Thémisphère nord, PP' l'axe terrestre, EE' l'équateur, 0^ la verticale que nous supposons dirigée dans le sens de la pesanteur, g Taccélération due à la pesanteur. Rapportons à trois axes rectangulaires, savoir : 0-cr que ^^S'^^' I^Q^s venons de définir,

Ox mené dans le plan horizontal du point 0, tangentiellemcnt au méridien, dans la direction du Sud ; Oy tangent au parallèle au point et dirigé vers l'Est. Soit NS la parallèle à PP' menée par le point : la rotation ayant lieu de l'Ouest à l'Est, OS sera, d'après les conventions adoptées, le sens de l'axe de rotation. Soit X la latitude du point : c'est le complément de l'angle que fait l'axe de rotation avec la verticale de ce point 0.

Si nous décomposons la rotation &) suivant les trois axes, nous aurons :

jo = 0) CCS X, g = 0, r = w sin h

Les composantes de la force centrifuge composée sont donc :