X.-=o^(.|-,|)-2m«sinxf
Si nous désignons, en général, par X, Y, Z les composantes de la force extérieure appliquée au mobile, abstraction faite de son poids, qui se réduit à une force 7ng dirigée suivant l'axe des z,^ nous aurons pour les équations du mouvement du mobile aux environs du point :
g=.X-f2m«osinX§,
''^S- = Y + 2m«(cosA§-sinxg)
m -jj^ = Z + mg — 2w^(o ces X -^ .
L'intégration de ces équations permet de déterminer œ, y, z en fonction de t.
1. Noas supposons que le mobile ne s'écarte pas beaucoup du point G, ce qui nous permet de considérer la pesanteur comme constante dans tout« l'ôlendue de la trajectoire.
Applicatioas. — Chute d'un corps pesant.
224. Proposons-nous de trouver le mouvement d'un point matériel tombant du point sous Faction de la pesanteur seule.
Nous aurons, dans ce cas, X <^ 0, Y -» 0, Z ^ 0, et les équations du mouvement sont :
rf«n? . ' ^ dy — 2a) sm A ^
*y o. . /.^o 1 rf^ ^ «4. -i ^^
(cosA§-8inxf). (1)
Intégrant ces équations, et désignant par a, b, c les composantes de la vitesse relative initiale, il vient :
doo « . -i , ^ = 2(i)y sm X + a,
-^ = 2w (^ ces i — X sin /) + b, (2)
^ gt ^ 2wy cos i + c.
Éliminant — entre la première et la troisième des équations (1), on a :
cos X -^ + sm X -^ — flr sm A, d'où, en intégrant, et observant que, pour f »« 0, on a
ÔiCXj dL%
cos X ^ + sin X ^ — flr< sin ?. + a cos A ^ ettei.
ou bien, en posant a cos X + c sin A » e^,
• (te , . •. di: ^^ â 1 I cos / ^ + sm / -TT « p< sm A + Cj.
En intégrant de nouveau, il vient :
0? cos X + ;î sin X « g |)rP sin i + Ci< ; (3)
nous n'ajoutons pas de constante, parce que x ^X z sont nuls pour ^ « 0.
Remplaçant 757 ^t 737 P^r \ex3îr^ valeurs (2) dans la
deuxième équation (1), on obtient :
^ 4- 4a>«y ». 2w (p^cos i — «i),
en posant :
a^ s a sin X — c cos X.
On sait que l'intégrale de cette équation difTérentielle du second ordre est :
y = A ces 2iùt 4- B sin 2iùt + ^ — ^ — « •
Pour déterminer les constantes A et B, faisons ^ = ; nous aurons :
et, par suite,
En représentant ces constantes A et B par G sin x et G cos a,, il vient :
y = Gsin(2(o^ + a) + ^-^^t - gj^; (4)
d'où Ton tire :
(tt 4>iÙ
Enfin, si l'on substitue cette dernière valeur de -^
dt
dans la seconde équation (2), on trouve :
a?sin>. — ^ cos X = ^r ^!-^ G cos (2a)f + a),
OU bien :
a?.sin X — ;î cos X «= G cos a — Gcos (2w^ 4- a). (5)
Les équations (3), (4) et (5) donnent la solution complète du problème.
225. Cas particulier. — Supposons la vitesse initiale nulle ; nous aurons alors :
d'où :
aj=0, c, -fO, Gslna«0, G ces a « — ^^®^
On en tire :
Introduisons ces conditions dans les équations (3), (4) et (5), et nous aurons les équations suivantes :
â? CCS i + ,3: sin A « " gi* sin ).,
(7 CCS i - fl' CCS X . . .
a; sm A - 5 CCS i =^ — • \. , 1 — cos 2cof).
4co*
Développant cos 2(ùt et sin 2(»it suivant les puissances ascendantes de 2(^1, et négligeant les termes qui contiennent u^ en facteur, nous aurons les équations
suivantes :
y — 3 pw cos i . <»,
X ^ïa\ — zGo»\^^ —^g1^co%\\
d'où l'on tire :
a?«-0, y = ôpwcosX./», Z'^^gl^. (6)
Les formules (6) nous apprennent que, si le temps t reste très petit, y reste toujours très petit ; d'ailleurs, puisque â? -= 0, le mobile reste dans le plan des zy, c'est-à-dire dans un plan normal à la ligne méridienne : il tombe donc à peu près suivant la verticale de son point de départ. Mais y, quoique très petit, n'est pas nul ; en outre, il est positif. Il s'ensuit que le mobile éprouve une petite déviation de la verticale dans le sens des y positifs^ c'est-à-dire vers VEst. La grandeur de cette déviation est donnée par la deuxième des formules (6). De la troisième de ces formules il résulte que la projection du mobile sur la verticale aura le môme mouvement que si Ton n'avait pas égard à la rotation de la terre.
Il est facile d'obtenir la trtgectoire décrite par le mobile dans le plan des zy, en éliminant t entre les deux dernières équations (6), ce qui nous donne :
y = -^TSer 0) COS X . Zl/x. (7)
Cette trajectoire qui est tangente à la verticale au
point de départ est une parabole du degré ^ •
La formule (7) permet de calculer la déviation correspondante à une hauteur de chute donnée. Cette formule a été vérifiée par des expériences faites par M. Reich dans un puits de mine à Freyberg. On avait :
Les expériences ont donné une déviation moyenne de Ô°',0283, tandis que la formule (7) donne y — 0"',0276, valeur qui diflêre très peu du résultat expérimental.
Remarque. — Si dans les développements de sin 26»/ et cos 2<^t on tenait compte des termes qui contiennent G)^ en facteur, on aurait les équations suivantes :
œ cosl -\- z 9inl ^ ^ gt^ sin i.
0? sm / — ;î cos A — — z— — t^ -|- ^ o)*r*,
1 ^ jo
On en tire :
a? -» ~ ^cj« sin X cos 1 . /*.
y =- 3 fl^w cos X . /«,
^iy^'-^l^w'coss/./*.
La valeur positive de œ nous apprend qu'il y a aussi U7%e petite déciation vers le Sud, mais cette déviation est insensible.
Pendule Foucault.
*286. Proposons-nous d'étudier le moiive^nent du pendulCy en ayant éga^^d au mouvement de rotation de la terre, c'est-à-dire le mouvement d'un point
matériel pesant attaché au point par un fil inextensible et sans masse de longueur l (flg. 45). Cela revient au mouvement d'un point pesant sur une sphère de rayon l, invariablement liée à la t^rre.
Les forces qui sollicitent le point supposé libre sont : la pesanteur, parallèle à l'axe 0^, la tension du fll ou la réaction normale de la
surface, que nous désignerons par N, en la rapportant à l'unité de masse, et qui sera dirigée dans le sens MO, enfin la force centrifuge composée.
Il nous suffira donc, d'après ce que nous avons vu (n^* 213), d'ajouter aux composantes de la pesanteur, les composantes de la réaction N qui sont :
-Nj' -Nf -Np
et nous aurons pour les équations du mouvement :
On a, en outre, la relation :
Ces équations (1) et (2) déterminent œ, y, z, N en fonction de t, et, par conséquent, le mouvement apparent du pendule.
En posant, pour abréger,
les équations (1) deviennent :
227. Nous allons étudier le cas où les oscillations sont très petites, c'est-à-dire que nous supposerons que le pendule s'écarte très peu de la verticale. Nous considérerons les rapports -.-» y» comme de très petites
quantités dont nous négligerons les carrés et les produits par h et K qui sont de Tordre de ». Nous aurons ainsi :
d'où :
z ^ l, et, par suUe, ^ "" ^» ^ = ^•
La dernière des équations (3) nous donne alors :
N-^-2ft'f.
On a , par conséquent.
N^ .9^ 91,» ^ dy
et, en négligeant, comme nouà l'avons dît, le prcxkiit A' y» il vient :
de même,
-if:
Ny 7'
Les équations (3) nous donnent alors les suivantes
dfix ^, dy gx ^
dt^ '^'^'^'di'^T^^'
OU bien, en posant y «= A%
Ces équations (4) déterminent le mouvement de la projection du point M sur le plan des œy.
En éliminant y entre ces équations (4), et négligeant les puissances de k supérieures à la première vis-à-vis des quantités ftfties, î! vient :
^ + 2ft.^4.A.^^0. .5)
L'équation carïictéristique est :
a* -h 2/iV -f A* — ;
elle a deux racines doubles imaginaires et égales à db hl/^^\.
L'intégi^ale de l'équation (5) est donc :
0? « A sin (ht + a) + B^ sin (ht -f- P; ; (6)
les constantes A, B, a, (3 sont déterminées par les circonstances initiales du mouvement.
Supposons que pour ^ «« 0, on ait a? «= 0, y f= y^ et que la vitesse initiale soit nulle, c'est-à-dire que l'on
^^^(^7/ ^^' \lf) "* ; les équations (4) nous donnent aloi's, pour t == 0,
Or, (le l'équation (6)v on tire :
^ - A I Xco&{M + oi) + Btcos [ht -\-^) \ + Bsin(ht + fi), (7)
^ + A»a; -= 2M ces (M + P),
ou bien, à cause de la première équation (4) :
g - Ç cos (A< + p), (8)
et, par suite,
^ = -S^sin(A< + p). (9)
Nous aurons donc, en faisant t ^ dans les équations (6), (7). (8) et (9) :
== A sin a, = Aa cos a + B cin P, = y CCS p, — AVo *= ft" ^^^ ^'
Comme il résulte de la deuxième et de la quatrième de ces équations que les constantes A et B ne peuvent être nulles, les deux autres équations nous donnent :
sin a = 0, et ces p = 0, d'où : a = 0, P = ^ "»
par suite,
Les équations du mouvement projeté sur le méridien et le parallèle du lieu sont donc :
(10) y = y^cosht.
Il s'ensuit que le mouvement projeté sur le parallèle est celui d'un pendule simple de longueur l, abandonné
à lui-même à une distance y^ de la verticale. On en conclut encore que la durée d'une double oscillation est :
En éliminant t entre les équations (10), on trouve pour la trajectoire du mouvement projeté sur le plan des œy :
arc cos
Dans le mouvement direct du pendule, ht varie de à TT, et, par conséquent, sin ht est positif ; dans le mouvement rétrograde, ht variant de tr à 2Tr, on a sin /i< < 0. Donc, dans l'équation (11) on prendra le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que le mouvement sera direct ou rétrograde. D'ailleurs, comme l'équation (11) reste la même, quand on y change simultanément les signes de x et de y, il en résulte que cette courbe a pour centre l'origine.
