Pour nous rendre compte du mouvement
rapportons-le à deux axes rectangulaires mobiles 0?, On tournant dans le sons de Oy vers Ox, c'est-à-dire en sens inverse du mouvement de la terre sur l'horizon avec une vitesse — k (flg. 46).
Au bout du temps t ces axes feront avec Ox des angles
égaux à kt et -^ — kt, et nous
aurons pour les coordonnées relatives du point M' rapporté à ces axes :
Fig. 46.
l = xcoskt — y sin kê,
Yi^= oosinkt + y cos kt,
ou bien, en négligeant les puissances de h supérieures à la première :
l^x — ktym^ -^ sin ht,
yj « ktœ + y *= î/o ^os A<.
Ces équations déterminent le mouvement de la projection M' par rapport aux axes 01 et Oyj.
En éliminant t entre ces deux dernières, on a pour l'équation de la trajectoire relative par rapport aux axes Ol et Or/ :
Ayo\' y^'
Cette trajectoire est donc une ellipse ayant pour centre l'origine et dont les demi axes, dirigés suivant 0? et 0/),
sont respectivement égaux à -j^ et y^ ; le premier est
très petit par rapport au second à cause de la petitesse
du rapport -r •
On conclut de là que la projection sur Vhorizon du point mobile décrit une ellipse mobile très allongée dont le grand axe est animé d'un ^nouvement lent de rotation autour de la verticale du point de suspension, en allant de VEst à VOuest en passant par le Sud, et de VOuest à VEst en passant par le Nord.. La vitesse angulaire h
de cette rotation est constante et égale à celle de la rotation terrestre multipliée par le sinus de la latitude du lieu d^ observation.
L'ellipse relative est donc décrite toute entière
entre deux plans verticaux parallèles et distants de
~jr Vq^ et animés du mouvement de rotation que nous
venons d'indiquer. Ces plans étant très rapprochés l'un de l'autre, paraissent n'en former qu'un seul, celui du pendule, qui, dans l'expérience, tourne d'un mouvement uniforme autour -de la verticale de l'Est à l'Ouest en passant par le Sud en sens inverse du mouvement de la terre, avec une vitesse angulaire k = w sin A. C'est ce phénomène de la déviation du plan d'oscillation du pendule libre que Foucault a mis en évidence au Panthéon de Paris .
Extension des théorèmes généraux au mouvement relatif.
229. Les théorèmes généraux s'appliquent au mouvement d'un système par rapport à des axes mobiles, pourvu que l'on joigne en chaque point aux forces réellement appliquées les deux forces fictives qui permettent de considérer le mouvement relatif de chacun des points du système comme un mouvement absolu. Ces forces fictives sont la force d'inertie d'entraînement et la force centrifuge composée (n** 211).
Nous devons observer cependant que, dans l'application du théorème des forces vives au mouvement
relatif, les forces centrifuges composées disparaissent d'elles-mêmes. En effet, le travail de chacune d'elles est nul (n° 215).
Nous remarquerons aussi que, dans le cas où les axes mobiles auxquels on rapporte le mouvement du système se meuvent parallèlement à eux-mêmes, les forces centrifuges composées sont nulles (n° 214), et, par conséquent, les forces fictives se réduisent aux forces d'inertie d'entraînement. Enfin, si le mouvement d'entraînement est une translation rectiligne et uniforme, les forces d'inertie d'entraînement sont nulles, et, dans ce cas, les théorèmes généraux s'apphquent au mouvement relatif comme au mouvement absolu, sans que l'on ait besoin de joindre les forces fictives aux forces qui agissent réellement sur le système.
230. Supposons que l'on rapporte le mouvement à des axes mobiles de direction constante menés par le centre de gravité, et voyons ce qui va en résulter pour les théorèmes généraux.
Nous avons déjà vu (n°^ 189 et 207) que les deux derniers théorèmes sont applicables au mouvement relatif autour du centre de gravité. Nous retrouverons cette propriété par l'application de la méthode actuelle.
D'abord, puisque les axes mobiles ne sont animés que d'un mouvement de translation, le mouvement d'entraînement est une translation dans laquelle chaque point décrit une trajectoire égale et parallèle à celle que décrit le centre de gravité ; les forces centrifuges composées sont nulles en chaque point, comme nous l'avons dit (n° 214), et, par conséquent, il n'y a pas lieu de s'en occuper. Quant aux forces d'inertie d'entraînement, elles sont toutes parallèles et de sens contraire à l'accélération totale du centre de gravité
du système dans le mouvement absolu. Chacune de ces forces est égale au produit de la masse du point matériel auquel elle se rapporte par l'accélération absolue du centre de gravité prise en sens contraire.
Ceci établi, étudi4)ns ce qui résulte de l'introduction des forces apparentes dans les équations des théorèmes généraux.
231. En ce qui concerne le théorème du mouve^nent du centre de gravité, désignons, comme précédemment, par X, Y, Z les composantes suivant les axes de la force extérieure au point m, par x^, y^ z^ les coordonnées du centre de gravité par rapport aux axes fixes ;
les composantes de l'accélération absolue de ce point
d^oD d^xi d" z sont -^1 ~oS -^rr » donc, (n° 230), les composantes
de la force d'inertie d'entraînement pour le point m
du système sont — m -^^ , — m ~f , — m -^-^.
Si donc, en chaque point du système, nous joignons
à la force X, Y, Z, la force — m -rrr^^ — m --^y
d^z — ^^^ "rfF^' ^^^^ pourrons traiter le mouvement relatif
du système comme un mouvement absolu.
Si donc nous désignons par -^» WliP ^^ composantes de l'accélération relative du centre de gi^avité, et si nous appliquons les équations du mouvement du centre de gravité (n^ 178), nous devrons remplacer dans les seconds membres de ces équations SX, SY
et 2Z par SX - ^ Sm, SY - ^ Zm, 2Z — ^2m,
et les premiers membres par -^^ tt?» -^i et nous aurons les équations :
SX - ^ Smi - ^ Em
Or, les premiers membres de ces trois équations sont nuls en vertu du théorème du mouvement absolu du centre de gravité (n° 178), et, par suite, on a :
donc, l'accélération relative du centre de gravité est nulle, ce qui est d'ailleurs évident, puisque le centre de gravité est en repos relatif.
232. Passons maintenant au théorème des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque, par exemple sur l'axe des œ.
En désignant par X la composante suivant l'axe des œ de la force extérieure au point m, par ^i, yj, ^i, les coordonnées du centre de gravité par rapport aux
axes fixes, — m -TTr- sera la force d'inertie d'entraînement pour le point m, suivant l'axe des œ ; soient, en outre, 7/7 ^t (-^j les composantes de la vitesse
relative du point m aux époques t et 0, nous aurons, en introduisant les forces d'inertie d'entraînement, et en considérant alors le mouvement relatif comme un mouvement absolu :
^"•s-^fêi-i:/"'-!:/
Or, puisque —rir ^st 1^ même à chaque instant pour tous les points du système, nous aurons :
et, par suite,
Mais, on sait (n** 178) que, dans le mouvement absolu d'un système, le centre de gravité se meut comme si la masse totale y était concentrée et les forces transportées parallèlement à elles-mêmes. Nous aurons donc, en appliquant le second théorème général au mouvement absolu de ce point matériel {x^, y^, z^) de masse M (n** 22) :
et, par conséquent.
Donc, dans le mouvement relatifs Vaccroisse^nent de la somme des quantités de mouvement projetées sur un aœe quelconque est nul ; en d'autres termes, la somme des projections des quantités de mouvement relatives à un aœe quelconque reste constante pendant toute la durée du mouveynent.
Il est facile de s'assurer que cette somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque est nulle. En effet, ce, y, z étant les coordonnées d'un point du système par rapport aux axes mobiles du centre de gravité, oh a :
^mx = 0, d'où : Sm -=j == 0.
dt
On a donc le théorème suivant :
Théorème. — Dans le mouvement relatif considéré , la somme des quantités de mouvement projetées sur un aœe quelconque est nulle pendant toute la durée du mouvement,
233. Appliquons maintenant le théorè^ne des moments des quantités de mouvement, et prenons les moments par rapport aux axes mobiles passant par le centre de gravité.
D'abord, les forces d'inertie d'entraînement des différents points étant parallèles et proportionnelles aux masses de ces points (n*^ 230), elles se composent en une force unique passant par le centre de gravité. La somme des moments de ces forces par rapport à un axe quelconque est égale au moment de leur résultante ; d'ailleurs, si l'axe par rapport auquel on prend les moments passe par le centre de gravité, le moment de la résultante est nul, et, par conséquent, la somme des moments des forces d'inertie d'entraînement par
rapport à cet axe est nulle. Donc, il n'y a pas lieu, dans les équations des moments des quantités de mouvement, de tenir compte des forces d'inertie d'entraînement.
D'ailleurs, comme nous l'avons dit (n° 214), puisque les axes mobiles se meuvent parallèlement à euxmêmes, il n'y a pas lieu de tenir compte des forces centrifuges comi)osées.
Par conséquent, les équations des moments des quantités de mouvement dans le mouvement relatif ne diffèrent pas des équations analogues dans le mouveinent absolu y c'est-à-dire que l'on n'a à tenir compte que des forces qui agissent réellement.
284. Il en résulte que toutes les propriétés que nous avons déduites du théorème des moments des quantités de mouvement dans le mouvement absolu s'appliquent au mouvement relatif rapporté au centre de gravité. Tel est le théorème de M. Resal (n" 186).
En particulier, si les forces extérieures réellement appliquées ont une résultante nulle, ou si cette résultante passe par le centre de gravité, le théorème des aires s'appliquera au mouvement relatif rapporté au centre de gravité comme au mouvement absolu.
Le plan du maximum des aires conserve une direction constante dans l'espace, et la somme des aires projetées sur ce plan, à partir d'un instant donné, varie proportionnellement au temps. Ce cas se présente dans le système planétaire, composé du Soleil et des planètes. Les forces extérieures provenant des étoiles peuvent, à cause du grand éloignement des étoiles, être considérées comme des forces parallèles et proportionnelles aux masses, et, par conséquent, la résultante de ces forces passe par le centre de gravité du système. Il y a donc un plan invariable dans le mouvement relatif du Soleil
et des planètes autour de leur centre de gravité commun. C'est le ^plan invariable de Laplace.
235. Enfin, le théorème des forces vives s'applique aussi au mouvement du système par rapport à des axes mobiles de direction constante passant par le centre de gravité, sans qu'il soit nécessaire de joindre les forces fictives. En effet, si nous voulons appliquer le théorème des forces vives à ce mouvement, il faudra joindre à la somme des travaux des forces extérieures et des forces intérieures, les travaux des forces d'inertie d'entraînement et des forces centrifuges composées. Or, les forces d'inertie d'entraînement étant parallèles et proportionnelles aux masses, ont une résultante égale à leur somme et appliquée au centre de gravité, et, par suite, la somme des travaux de ces forces est égale au travail de la résultante. Mais, le déplacement du centre de gravité par rapport aux axes mobiles étant constamment nul, le travail de la résultante est nul, et, par conséquent, la somme des travaux des forces d'inertie d'entraînement est nulle. D'ailleurs, comme nous l'avons dit (n** 215), les travaux des forces centrifuges composées sont nuls.
Par conséquent, le théorème des forces vives s'applique au mouvement relatif d'un système par rapport à des axes mobiles de direction constante menés par le centre de gravité, sans qu'il y ait lieu de tenir compte des forces fictives.
Ainsi, en résumé, lorsque le mouvement est rapporté à des axes mobiles de direction constante menés par le centre de gravité, les deux derniei^ théorèmes généraux sont applicables au mouvement relatif sans qu'il soit nécessaire de tenir compte des forces fictives.
286. Remarque. — Nous avons déjà vu (n^* 214) qu'il en sera de même , quels que soient les axes
mobiles, si le mouvement relatif est rapporté à dès axes animés d'un mouvement de translation rectiligne et uniforme. Tous les théorèmes généraux seront applicables au mouvement relatif sans qu'il soit nécessaire de joindre aux forces réelles les forces Actives, puisque ces dernières sont toutes nulles.
237. Étudions encore le cas où le ^nouvement (ï entraîneinent des axes mobiles auxquels on rapporte le mouvement est un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe fixe.
Dans ce cas, la force d'inertie d'entraînement se réduit pour chaque point à la force centrifuge m^ù^r (I, n"" 164) ; la force centrifuge composée n'est pas nulle, et l'on peut en déterminer la valeur. Il résulte de là que les forces fictives doivent être introduites dans les équations des théorèmes généraux.
En ce qui concerne le troisième théorème général, si l'on prend les moments par rapport à l'axe de rotation, les moments des forces centrifuges mw^r sont nuls ; mais, il n'en est pas de même, en général, des moments des forces centrifuges composées.
Quant au quatrième théorème, n'oublions pas (n^* 215) que, quel que soit le mouvement d'entraînement, les forces centrifuges composées n'entrent jamais dans l'équation des forces vives, puisque le travail de chacune de ces forces est nul.
D'ailleurs, il est évident que la somme :
^ I dx dy \ . \
est identiquement nulle.
Ainsi donc, dans le cas où le mouvement d'entraînement est une rotation uniforme autour d'un axe fixe, on doit seulement, dans l'application de l'équation des forces vives au mouvement relatif, tenir compte du travail de la force m«V en chaque point. Proposonsnous de trouver le travail de cette force.
Soient la projection de l'axe fixe, ABla trajectoire
relative du point m, et m' ^*^' ^^' la position du mobile infini-
ment voisine de m (fig. 47).
Le travail élémentaire de la force mcù^r est :
^ in<y*r yyn^ir . mn = mis>^rdr.
La somme des travaux élémentaires de cette force entre les deux positions A et B du mobile est :
en désignant par w^ et w^ les vitesses linéaires d'entraînement aux points A et B.
