CHAPITRE VI
Mouvement d'iin corps solide
assujetti à tourner autour d'un axe fixe
sous l'action d'une percussion.
238. Problème. — Un corps solide est retenu par un axe fixe autour duquel il peut tourner. Ce corps étant en repos ^ est sollicité par une percussion. On demande de trouver les propriétés du mouvement.
La force instantanée qui met le corps en mouvement produira un effort sur l'axe : cet effort sera une sorte de choc ou de percussion. Nous aurons donc à déterminer la vitesse angulaire initiale w, et les percussions exercées sur Taxe.
En vertu du principe de d'Alembert, étendu aux forces instantanées (n** 172), il y a équilibre, au moyen des liaisons, c'est-à-dire de l'axe, entre la force instantanée et les quantités de mouvement initiales et finales, ces dernières prises en sens contraires. Or, le corps partant du repos, les quantités de mouvement initiales sont nulles ; d'autre part, nous pouvons rendre le corps libre, en introduisant les réactions de deux points fixes sur Taxe, réactions qui
sont égales et de sens contraires aux percussions exercées sur ces points. Nous aurons alors à écrire qu'il y a équilibre entre la force instantanée, les réactions des points fixes, et les quantités de mouvement Anales prises en sens contraires.
Prenons l'un des deux points fixes pour origine, l'axe des z passant par les deux points et A, et soit OA — A la distance des deux points (fig. 48). Soient
j-i ^3^ Xi, Y,, Z, les compo-
santes de la réaction au point 0, et X^, Yg, Z^ les composantes de la réaction au point A, X, Y, Z les composantes de la percussion, H, >), Ç les coordonnées de son point d'application. Nous supposerons que le mouvement s'effectue dans le sens des rotations positives.
Si nous désignons par &) la vitesse angulaire commune à tous les points du corps, la vitesse linéaire d'un point m (,r, y, z) situé à une distance r de l'axe sera «r, sa quantité de mouvement sera wrrf^w, dirigée suivant la tangente au cercle décrit par le point m : c'est la force qu'il faudrait appliquer au point m libre et au repos pour lui communiquer la vitesse angulaire tù pendant l'unité de temps. Cette quantité de mouvement prise en sens contraire est — tùrdm : elle a pour composantes suivant l'axe des x, m^dm sin 0, et suivant l'axe des y, — tùrdm cos 9, en désignant par 6 l'angle que le rayon niK, ou »i'0 fait avec le plan des zx ; la composante suivant l'axe des z est nulle.
Or, on a évidemment :
cos G = - , sm G = - ; r r
par conséquent, les composantes de — wrrfm suivant les axes des x et des y sont respectivement : wydm et — (ùxdm.
Nous aurons des résultats analogues pour chacun des points du corps.
Si nous transportons toutes ces forces à l'origine, nous aurons suivant les axes des œ et des y les forces :
/ ydm = wMy 1 , — w / xdm = — wM^, ,
en désignant par a?,, y^, z^ les coordonnées du centre de gravité du corps, et dans les trois plans coordonnés les trois couples :
(i) / œzdm, iù I yzdm, et — w Hx^ -f y*) dm = — w /^r'
^dm.
La force instantanée transportée à l'origine nous donne les trois composantes : X, Y, Z, et les trois couples : •
Zn - Y^, XÇ - ZS, Yl-X-n;'
1. Il est bon d'observer que les forces X, Y, Z, et leurs couples
fj
sont ici les impulsions fxdt, fYdt^ f Zdt, et des couples d'im-
pulsion. On représente les impulsions par une seule lettre pour simplifier les notations.
les forces X^, Y^, Z^, transportées à l'origine nous donnent les trois composantes :
et les deux couples :
-YÀ X.A
situés respectivement dans les plans des yz et des zx. En appliquant le théorème de d'Alembert, noUiS aurons les six équations suivantes :
X + Xj + X, + (oMy^ = 0. (1)
Y + Yi + Yg — toMo?, — 0, (2)
Zyj — YÇ + iùfœzdm — Yji = 0, (4)
XÇ — Z^ + tùfyzdm + X^h = 0, (5)
Yg — Xy; — tùfrHm = 0- (6)
La dernière équation (6) qui ne contient pas les composantes des réactions inconnues des points fixes, est Véqualion du mouvement : elle servira à déterminer la vitesse angulaire m. On en tire :
YS-Xx) / r^dm
Par conséquent, la vitesse angulaire (à à la fin de la percussion est égale au moment de la percussion par rapport à Tewre de rotation divisé par le moment dHnertie du cot^s par rapport à cet axe.
Les équartions (4) et (5) serviront à déterminer les valeurs de X,, Y^, et les équations (1) et (2) nous donneront ensuite Xj, Y, ; enfin, l'équation (3) détermine la somme Z, + Z,.
Les valeurs de Xp Y,, Zp X^, Y^, Z^, prises en signes contraires, nous donnent les composantes des percussions exercées siu* l'axe. Comme on le voit, la percussion dans le sens de l'axe, ou la percussion longitudinale — (Zi + Z^) est égale à la composante de la force instantanée suivant cet axe.
Centre de percussion.
239. Proposons-nous maintenant de trouver les conditions pour que Vaxe n'éprouve aucune percussion. Nous supposerons, pour plus de simplicité, que Ton prenne pour plan des zx le plan passant par l'axe de rotation et le centre de gravité du corps, et pour plan des xy le plan mené par le point d'application de la force instantanée perpendiculairement à l'axe de rotation. Nous aurons alors yj = 0, Ç =: 0, et les équations du mouvement nous donnent :
Y + Yi 4- Y, — tù^x, = 0,
Zri + (o I xzdm — Yji = 0,
— Z; + (i) fyzdm + X^h = 0, Y^ — Xyj — (ùff^dm -= 0.
Or, si dans ces équations on pose :
X, =0, Y, « 0, Zi « 0, X. = 0, Y. -= 0, Z, « 0,
nous aurons les équations suivantes :
X =- 0, Y = u)Ma?i, Z = 0, fœzdm = 0, fyzdm = 0, Y? = w / r^dm.
Les équations X == 0, Z = 0, nous apprennent que la force instantanée doit être perpendiculaire au plan des zœ, c'est-à-dire au plan passant par Vaœe de rotation et par le centre de gravité du corps.
Des équations fxzdin =- 0, fyzdm = 0, on conclut
que Yaœe de rotation doit être principal pour l'origine déterminée par le plan des xy^ mené, comme nous l'avons fait, perpendiculairement à l'axe par le point où la force de percussion rencontre le corps.
D'ailleurs, puisque la force doit être perpendiculaire au plan des zœ, et que son point d'application est dans le plan des œy, elle sera elle-même dans le plan des œy, et elle sera parallèle à l'axe des y. L'équation :
Y? = G) / rHm,
nous donnera alors la distance de la force à Vaxe ; cette distance étant évidemment égale à H, nous aurons :
G) / r^dm I r^dm
Or, si nous désignons par Ig le moment d'inertie du corps par rapport à un axe mené par son centre
de gravité parallèlement à l'axe de rotation, nous aurons (n"" 141) :
/ r^dm = I^ + Ma?i* ;
par conséquent,
Ma?i
Le point ainsi déterminé est ce que l'on appelle le centre de percussion : c'est le point oii la force doit être appliquée dans le plan passant par Vaœe et par le centre de gravité du corps pour que Vaxe ne subisse aucune percussion.
Donc, pour que l'axe ne subisse aucune percussion, il faut et il suffit :
V Que la direction de la force instantanée soit perpendiculaire au plan qui passe par Vaxe fixe et par le centre de gravité du corps.
2° Cet axe de rotation doit être principal pour le point oii il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force.
3° La distance de cette force à Vaxe (ou la dislance
du centre de percussion à Vaxe) doit être égale à
a?i + iCr * Uintensité de cette force est égale à «Ma?i.
Remarque I. — On voit que la question proposée serait impossible, si l'axe de rotation passait par le centre de gravité du corps. En etfet, pour qu'il n'y ait pas de percussion exercée sur l'axe, il faut que la force de percussion appliquée au corps soit Y == «Mo?! ;
or, si Taxe de rotation passe par le centre de gravité du corps, œ^ = 0, et, par conséquent, Y «= 0. D'ailleurs, on a alors ? = oo, et le centre de percussion serait à rinfini.
Remarque IL — Si Taxe de rotation n'est principal pour aucune origine prise sur sa direction, il n'y aura pas de centre de percussion relatif à cet axe.
Mouvement de rotation d'un corps solide
autour d'un axe fixe, sous l'action de forces quelconques.
K 240. Proposons-nous maintenant d'étudier le mouvement cVun corps solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe^ et sollicité par des forces motrices quelconques qui agissent d'une manière continue.
Nous avons à déterminer la vitesse angulaire à un instant quelconque du mouvement, et les pressions exercées sur Taxe à chaque instant, pressions qu'il faut bien distinguer des percussions initiales.
Nous pouvons rendre le corps entièrement libre, en introduisant les réactions de deux points fixes et A pris sur cet axe, réactions qui sont égales et de sens contraires aux pressions exercées sur ces deux points à chaque instant du mouvement.
Nous appliquerons le principe de d'Alembert, et nous écrirons qu'il y a équilibre à chaque instant entre les forces motrices, les réactions des points fixes et les forces d'inertie des difl'érents points.
Prenons l'un des points fixes pour origine, l'axe dos z passant par les deux points et A, et désignons par OA == h la distance des deux points fixes. Soient X, Y, Z les composantes de la force motrice P, qui agit en un point m {œ, y, z) du corps, X^, Yj, Z^, les composantes de la réaction du point 0, X^s Y^, Z^ les composantes de la réaction du point A ; les composantes
de la force d'inertie du point m sont : — -yrr dm,
— -p- dm, — -T|T dm. Nous aurons donc les six équations suivantes :
SX + X, + X, -/^ dm - 0, SY 4- Y, + Y, ^f^dm « 0.
+ Z, +Z, -f-Jdm^O,
S(Zy-Y.)-Y,A-/(y§-^g)rfm = 0, S (Xz-^Zœ) + X,h -f\z ^ -0? ^) *n « 0, ^(Yx--Xy)^f[œ^,-y%)dm^O.
Or, Taxe de rotation étant pris pour axe des z, et 0) étant la vitesse angulaire de la rotation à la fin du temps ty la vitesse du point m est v «« wr ; ses composantes sont, puisqu'elle est perpendiculaire à l'axe
des z :
dcD du dz
On en tii'e r
cPx d(ù dy , do)
dHi diù , dœ a , rfw
En substituant dans les équations précédentes, et désignant par a>^, y y, z^ les coordonnées du centre de gravité du corps, il vient :
SX 4 X, + X, + ^ My, + w«Ma;, - 0. (1)
EY + Y. + Y^ - ^ Ma;. + w^My, - 0, (2)
SZ + Z, + Z, = 0, (3)
S <Zy — Y«) + ^ fœzdm — u» iyzdm — Y^h ^ 0, (4) S (X? — Za?) + -^Jyzdm + iù^fxzdm -f- X^A = 0, (5) 2 ( Y« — Xy) - ^fr*dm = 0. (6)
L'équation (6) ne contient pas les composantes des réactions inconnues des points fixes. Cest Véquation du mouvement.
On en tire :
rfw S (Yx — Xy) .
dt
r^dm
cette équation servira à déterminer la vitesse angulaire à la fin du te^nps t.
Les équations (4) et (5) nous donneront les composantes Xg, Yg de la réaction du point A : on voit que ces composantes sont en raison inverse de la distance A. Ces valeurs de X,, Y, étant connues, les équations (1) et (2) nous donneront les composantes X^, Y, de la réaction du point 0. Enfin, l'équation (3) nous donne la somme Z^ + Z., des réactions suivant l'axe de rotation, sans que l'on puisse déterminer en particulier ces deux composantes. Les valeurs de Xj, Yj, Zj, X2, Yg, Z., prises en signes contraires sont les composantes des pressions aux points et A.
241. Cas particuliers. — Y Si le corps solide n'est sollicité par aucune force motrice, ou si ces forces 'se font équilibre, on a :
SX = 0, £Y = 0, SZ -= 0,
£ [ly - Yz) -= 0, S (X^ — Zœ) == 0, S iyœ — Xy) = 0.
d(»^ L'équation (6) nous donne alors ;;37 = ; par conséquent, 61 = const. , c'est-à-dire que la vitesse angulaire est constante : le mouvement de rotation est uniforme. On a alors :
X, + X, H- îùmœ, - 0,
Y, + Y, + iomy, = 0,
' fyzdm + yji -= 0,
tù^ I œzdm + Xji = 0.
L'équation Zj + Z^ — nous apprend que les réactions se réduisent à deux forces perpendiculaires à Vaœe, puisque la somme de leurs composantes parallèles à l'axe est nulle.
Il est facile de voir que, dans ce cas, les réactions de l'axe font équilibre aux forces centrifuges de tous
les points du corps. En effet, puisque l'on ^ ^ "= t),
il en résulte que la composante tangentielle de la force
d'inertie, en chaque point, est nulle, cette composante
dv . d(ù ,
ayant pour expression — -ir- dm « — r -^ dm.
Remarque I. — Si l'axe de rotation est principal pour le ix)int 0, on a (n"" 145) :
/ œzd7n = 0, / yzdm = ;
par suite, X^ — 0, Y^ =» 0, quelle que soit la vitesse angulaire w. Par conséquent, le point A n*éprouve aucune pression. On peut donc supprimer la fixité du point A, puisque ce point n'a à supporter aucune pression.
Donc, si un corps retenu par un seul point fixe 0, com7nence à tourner autour de Vun des axes principaux rslatifs à ce point, sans qtt aucune force étrangère lui
soil appliquée, il continuera à tourner uniformément autour de cet axe^ comme s'il était fixe. Les trois axes principaux passant par un point fixe s'appellent, pour cette raison, axes permanents de rotation relativement à ce point.
D'ailleurs, dans ce cas, les équations précédentes nous donnent :
Xi « -- (ùmx,, Yj = — w«My,,
d'où, en désignant par Rj la pression exercée sur le point 0, et par r, la distance du centre de gravité à l'axe :
Rj — (i)«Mr, ;
on a d'ailleurs :
Par conséquent, la force R^ ou la pression sur le point est dirigée dans le plan passant par le centre de gravité et Vaxe de rolation.
Remarque IL — Si l'axe de rotation est un axe principal passant par le centre de gravité du corps, on a :
I xzdm = 0, iyzdm = 0, a?, = 0, y^ = 0,
et il vient alors :
X, = 0, Y, = 0, X, = 0, Yi = ;
le point ne supporte non plus aucune pression, et l'on peut aussi supprimer la fixité de ce point : le mouvement aynnt commencé autour de l'axe supposé fixe,
continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre.
Donc, si un corps entièrement libre cornme^ice à low*ner autour d'un de ses axes principaux du centre de gravité^ et qu'aucune force étràngèr*e ne lui soit appliquée^ son mouvement continuera uniformément autour de cet axe. Ces droites sont les seules qui jouissent de cette propriété. Ces trois axes s'appellent axes naturels de rotation, ou a^es pennanents de rotation relatifs OfU centre de gravité,
242 < 2° Si les forces extérieures se réduisent à un couple perpendiculaire à Vaxe de rotation, on a :
SX = 0, £Y - 0, SZ = 0, S (Zy - Y.S:) =-0, S (Xz — Zx\ - 0.
Dans ce cas, la vitesse angxdaire est donnée par la formule :
rfw ^ £ (Ya? ~ Xv) ^^ fr^dm
et elle n'est pas constante.
Si l'on cherche la condition pour que le point A n'éprouve aucune pression, on doit poser :
et il vient :
diù
--n fxzdm — (ù* I yzdm = 0,
dtù
I yzdm -Y <«>* fxzdm «= 0.
De ces équations on tire, en éliminant -^i
I iœzdm] + l jyzdm\ == 0,
d'où :
iœzdm == 0, iyzdm = 0.
On conclut de là que Taxe de rotation doit être un axe principal pour le point 0.
Les équations qui déterminent les composantes Xj, Yj, Z, de la pression exercée sur le point sont :
i . rZ
dt Y, - ^ Ma;. + w«My, = 0;
Puisque Zj = 0, on en conclut que la pression au point est perpendiculaire à l'axe.
Si, à un instant quelconque du mouveniEent, cet axe cesse d'être fixe et que le corps soit sèulciieiît retenu par le point 0, il continuera à tourner, autour^ de cet axe comme s'il était fixe. Ori a donc le théorème
suivant:
Théorème. — Si iin corps retenu par un point fixe commence à tùuHïer autour d'un axe principal de ce points sous l'action d'un couple perpendiculaire à cet axe principal^ le coi^ps continuera à tourner autour de cet axe comme sHl était fixe.
Remarque. — Si l'axe est principal du centre (le gravité, on a, en outre, x^ =* 0, ^i = 0, et la pression au point est aussi nulle, puisque l'on a alors X^ = 0, Y, — 0, Z^ -= 0. Les deux points et A ne supi)ortent donc aucune pression, et l'on a le théorème suivant :
Théorème. — Si un corps entièrement libre commence à tourner autour dun des axes principaux de son centre de gravité, et qxCil soit sollicité constamment par un couple situé dans un plan perpendicidaire à cet axe^ le mouvement se continuera sans altérationy lors même que cet axe serait entièrement libre.
Pendule composé.
243. hQ pendule composé est un corps solide pesant, mobile autour d'un axe horizontal que l'on appelle axe de suspension.
Prenons l'axe fixe horizontal pour axe des z. Taxe
des y dirigé dans le sens de la pesanteur, l'axe des X perpendiculaire au plan des deux premiers (fig. 49).
En désignant par X, Y, Z les comi)osantes de la force motrice pour un point m (a?, y, z) du corps, l'équation du mouvement est (n° 240) :
diù di
2 (Y^ — Xy)
~ 351 -^ Or, dans le cas actuel, on a :
X « 0, Y « mg, Z — ; par suite,
2 (Yâ? — Xy) — ^mgx = g^mœ -» gUx^,
en désignant par x^ la distance du centre de gi'avité G au plan des yz.
Du point G menons GN »= a perpendiculaire à Vaxe de suspension Oz, et par le point N menons la verticale NK. Abaissons du point G la perpendiculaire GK sur la verticale NK ; nous aurons évidemment GK « a?j. Soit G l'angle GNK que fait la perpendiculaire GN avec la verticale NK ; 9 sera l'angle que fait le plan mené par le centre de gravité et Taxe de suspension avec le plan vertical mené par l'axe de suspension. Soient encore Gj la position initiale du centre de gravité, et a l'angle G,NK, valeur initiale de e.
L'angle 9 diminuant quand t augmente, nous aurons :
d'où :
d^ rf«9 dt" dP
D'ailleurs, on a :
a?i «= GK = a sin 9 ;
par suite, l'équation (1) nous donne
rf«9 , Mga sin I r^dm
W + TZIT'^^' (2)
Cela posé, par le point G menons une parallèle à 0^, et soit MA* le moment d'inertie du corps par rapport à cette parallèle ; nous aurons (n** 141) :
et l'équation (2) devient alors :
Cette équation (3) détertnine l'angle 9 ou le mouvement angulaire du centre de grainté en fonction du temps. On en tire, en intégrant.
wF="*+;^^t.<"^«®-'^*)'
en désignant par û la vitesse angulaire initiale.
244. Mais, au lieu d'intégrer l'équation (3), on peut comparer le mouvement du corps pesant à celui d'un pendule siynple^ c'est-à-dire d'un point matériel pesant situé sur la droite NG à une distance l du point N. L'équation du mouvement de ce point est, comme on sait (n^ 95) :
^ + f8in9-0. (4)
En comparant les équations (3) ôt (4), on voit que les deux pendules auront un mouvement identique, si, les circonstances initiales étant les mêmes, c'est-à-dire si,
les valeurs initiales de et -r; étant les mêmes, on a :
r Donc, le mouvement du pendule composé est identique au mouvement du pendule simple de longueur :
pourvu que lés circonstances initiales soient les 7nêmes pour ces deux corps. On dit alors que le pendule composé et lé pendule simple sont synchrones.
Ainsi, quand un corps pesant tourne autour d'un axe fixe et' horizontal, on peut toujours trouver la longueur d'un pendule simple dont le mouvement soit le même que celui du corps, quelle que soit l'amplitude des oscillations.
Si les oscillations du pendule simple sont très petites, on a pour la durée d'une oscillation (n"" 97) :
^-'\Ji
. Cette formule, sera applicable au pendule composé, si l'on prend : ,
Cela posé, prenons un point B sur la droite NG prolongée, tel que NB = f, et menons par ce point B une parallèle à l'axe de suspension Oz : tous les points
du corps situés sur cette parallèle seront à une distance égale à / de l'axe de suspension. Donc, le mouvement du corps, sous l'action de la pesanteur, communiquera à chacun de ces points le même mouvement que si ce point était isolé et suspendu à l'extrémité d'un fil NB sans masse attaché au point N, c'est-à-dire s'il formait un pendule simple. Les points du corps situés au delà de B par rapport à l'axe O-ar, étant isolés de la 7nême manière, auront un mouvement plus lent, et la liaison avec les autres points augmente leur vitesse. Le contraire aurait lieu pour les points plus rapprochés de Oz que le point B. Les points projetés en B auraient de part et d'autre le même mouvement. Cette droite menée par le point B, parallèle à Oz, s'appelle acoe (^oscillation.
Si l'axe 0^ est principal pour un de ses points, l'axe d'oscillation passera par le centre de percussion correspondant (n"* 239). En effet, sa distance à l'axe 0^ est donnée par l'expression :
Ma
245. Théorème. — L'aooe de suspension et Vaxe d'oscillation sont réciproques. En d'autres termes, si l'on fait osciller le corps autour de l'axe mené par le point B, l'axe d'oscillation correspondant sera 0^.
En effet, soit V la longueur du pendule simple synchrone ; cette longueur sera donnée par la formule :
a étant la longueur BG *= — •
Remplaçant a! par sa valeur, il vient :
et le théorème est démontré.
246. Propriété. — Il y a une infinité d'axes autour desquels les petites oscillations sont de même durée.
En effet, on a (n** 244) la formule :
Fig. 50.
dans laquelle l^ a'\ . Or, la valeur de l\ et, par
conséquent, celle de T seront les mêmes pour tous les axes de suspension parallèles entre eux, et situés
à égale distance du centre de gravité, puisque pour tous ces axes A et a seront les mêmes. Si du point G
comme centre on décrit (flg. 50) deux
cercles de rayons a et —, toute droite
qui se projettera sur la circonférence
de l'un de ces cercles satisfera à la
condition. En effet, si est l'axe
de suspension, B sera l'axe d'oscillation, et si B est
l'axe de suspension, sera Taxe d'oscillation.
Mais on peut aussi changer la direction de ces axes et leur distance au centre de gravité sans que la valeur de l soit changée.
En effet, désignons par L la distance d'un axe D quelconque au centre de gravité, par «, (3, y les angles ([ue cet axe fait avec les axes principaux du centre
de gravité, par A, B, C les moments d'inertie principaux du corps par rapport à ces axes. Le moment d'inertie par rapport à une droite GH, menée parallèlement à D par le centre de gravité, est donné par la formule :
Mft« = A cos« a + B ces* P + C COS^ y,
et la longueur du pendule simple sera :
, T I *^ T 1 Acos^g + Bcos23-fC cob2 y .
Or, cette longueur peut rester constante pour une infinité de droites différentes D, puisque l'on peut faire varier «, p, 7, L de manière que l reste constante. Il y a donc une infinité d'axes autour desquels la durée des petites oscillations reste la même.
247. Proposons-nous encore de trouver Vaixe autour duquel la durée dune oscillation est la plus courte.
Nous aurons évidemment à déterminer le minimum de l'expression :
, T I ^ G^s* a + B cos« P + C ces» y l^h + ^ :
Or, si Ton suppose A < B < C, on sait (n*^ 152) que la plus petite valeur de l'expression
A cos^ a + B cos* (3 + C cos* 7
est A, et qu'elle correspond à a == 0, f^ == ^» 7 = *
Donc, Vaxe de suspension pour lequel l'oscillation sera la plus courte y est parallèle à l'axe du plus petit moment (Tinertie relatif au centre de gravité.
Nous aurons alors :
ML
Pour déterminer le minimum de l, nous égalerons à zéro la dérivée ■:jr » et nous aurons :
Donc, l'axe de suspension pour lequel l'oscillation
M de l'axe du plus petit moment relatif au centre
de gravité.
