CHAPITRE VII

Mouvement d'un solide autour d'un point fixe.

248 • Problème. — Un corps solide fixé par un de ses points est sollicité par des forces données. On donne les positions et les vitesses initiales des différents points de ce corps ^ et Von demande de déterminer le mouvement du solide.

Nous aurons évidemment à considérer deux problèmes distincts :

Problème I. — Le corps étant en repos et sollicité par des forces d'impulsion, trouver le mouvement initial.

Problème II. — Le corps étant sollicité par des forces continues, trouver son mouvement à un instant donné.

249. Imaginons par le point trois axes rectangulaires fixes dans l'espace, et trois axes rectangulaires fixes dans le corps et mobiles avec lui, ces derniers coïncidant avec les axes principaux de Tellipsoïde d'inertie relatif au point 0. Il est évident que la position du corps sera déterminée à chaque instant, si l'on connaît la position des axes Oo?, Oy, 0^ fixes dans le corps par rapport aux axes O.Cj, Oy,, 0^^ fixes dans l'espace (fig. 51).

Fig. 61.

Or, la position de ces axes mobiles est déterminée au moyen des trois angles <p, vp, 0. L'angle ç est l'angle que fait avec l'axe Ox, la trace OR du plan xOy sur le plan ^lO^i ; cet angle est situé dans le planir^O^j ; il est compté dans le sens des rotations positives autour de Oz^ , et il varie de à 2n. L'angle est l'angle que fait le plan xOf/ avec le plan .^,0^1 : c'est l'angle que Taxe Oz fait avec l'axe 0^^ ; il est compté dans le sens des rotations positives autour de OR, et il varie de à tt. Enfin, l'angle ^ est l'angle que Ooo fait avec OR ; il est situé dans le plan œOy ; il est compté dans le sens des rotations positives autour de Oz^ et il varie de à 2n. Nous devons donc déterminer ces angles cp, A, 6 en fonction de t.

On peut passer de la position Ooo, Oy, 0^ à une position infiniment voisine au moyen de trois rotations élémentaires : l'une autour de Oz^, égale à d^ ; l'autre autour de 0^:, égale à rf'| ; et la troisième autour de OR, égale à cK. Les vitesses angulaires de ces trois rotations

sont respectivement égales ^ 777' Tvf ^t 7^'

Mais, d'après ce que nous vu (I. n"" 110), tout mouvement élémentaire d'un corps solide autour d'un point est une rotation autour d'un axe instantané 01 passant par ce point 0. Or, on peut décomposer à un instant quelconque la vitesse angulaire w de cette rotation en trois composantes p, q, r suivant les trois axes 0^, Oy, Oz^ ou bien en trois composantes suivant les droites O^p 0<2:, et OR. Le mouvement élémentaire du corps solide sera donc produit ou par les trois rotations élémentaires pdt^ qdty rdt autour des axes Ox, Oy et 0^, ou par les trois rotations rf<p, rf^, rf6 autour de O^i, 0^ et OR. Ainsi donc, si sur ces dernières droites on prend des longueurs :

d(D ^^ dit ^^ dd

la résultante de ces trois longueurs sera la vitesse angulaire « de la rotation élémentaire du corps solide ; d'autre part, cette vitesse angulaire est aussi la résultante des trois vitesses angulaires jo, g, r, et ces dernières sont les projections de o) ^wr les trois axes Ox, Oy, Oz.

Il résulte de là que la projection p de w sur l'axe Ox est égale à la somme des projections de OA, OB, OC sur l'axe Ox ; il en sera de même pour les deux autres axes.

Nous aurons d'après cela :

d(D , ddf dO

p = -^ ces (z^Ox) + -^ cos {zOx) -h -^7 cos (ROa?) ,

d(p ddf dB

î = -^ cos (zfiy) 4- -^ cos (zOy) ■+ -^ cos (ROy),

d(p , dé dQ

r = -^ cos (z^Oz) + -^ cos (zOz) + -^ cos (RO^).

Of, on à : -

cos(z6œ) = 0, c6s(zOyj = 0, cos {zOz) = 1, cos (RO^) =- 0,

Fig. 52.

D'autre part , si nous imaginons une sphère d'un rayon égal à l'unité et ayant pour centre le point (fig. 52), elle rencontrera les axes et la droite OR aux points m, w, s, a, 6, c et R, et l'on trouve facilement les formulés suivantes :

cos (zfiœ) = sin ^ 3in 0, cos (zfiy) = cos ^ sin G,

cçs {zfiz) = cos 0, cos (ROâ?) =»- cos ^\f, cos (ROy) = — sin -^ ;

par conséquent, on a :

p =^ -^ sm ijy sin + -^ cos ^,

^9 I • /^ dO .

r«*^cos6+ ^^

S50. Ubmarquk. — On obtiendra plus simplement ces formules en appliquant ce théorème que, pour projeter une longueur sur une direction, on la projette sur trois axes rectangulaires, et Ton fait la somme de ces projections projetées sur la direction. Nous

Fig. 53.

devrons donc, au lieu des trois droites 0^:, Oz^ «t OR, prendre trois droites rectangulaires. Or, OR et 0^ sont perpendiculaires, et 0^, est dans un plan perpendiculaire à OR. Menons par le point (fig. 53) une droite OK dans le plan œOy, perpendiculairement à OR, et

décomposons -X dirigée suivant 0^^ en deux composantes dirigées suivant Oz et OK et qui seront respecti-

"T7 cos et -:77 dt dû

Il en résultera que les projections de « sur les trois axes rectangulaires O-î, OR et OK sont respectivement égales à :

vement égales à -;t7 cos et ^ sin 0.

dit , df

En appliquant le théorème des projections que nous venons de rappeler, il vient :

p = ^ sm 9 sin '^ + -^ cos ^,

d<9 dQ

•^ sin 6 cost{; — -^ sin ^, (1)

dt dt

Ce sont les formules que nous avons trouvées tantôt.

261. Il est évident que, si nous parvenons à déterminer jp, g, r en fonction de ^ nous pourrons au moyen de ces trois formules (1) déterminer (p, ^, 6 en fonction de t.

Le problème est donc ramené à la détermination de p, ç, r en fonction de t. C'est ce que nous obtiendrons au moyen du principe de d'Alembert.

262. En appliquant ce principe au premier problème, nous devrons écrire qu'il y a équilibre, au moyen des liaisons, c'est-à-dire du point fixe, entre les forces d'impulsion et les quantités de mouvement initiales et finales, ces dernières étant prises en sens contraires (n"" 172). Or, le corps partant du repos, les quantités de mouvement initiales sont nulles, et, par conséquent, il nous suffira d'écrire qu'il y a équilibre, au moyen des liaisons, entre les forces d'impulsion et les quantités de mouvement finales prises en sens contraires.

En appliquant le principe de d'Alembert au second problème, nous devrons écrire qu'il y a équilibre, au moyen des liaisons, entre les forces motrices et les forces d'inertie (n^* 167).

Or, en tTansportant les forces à Torigine 0, elles, se composeront en une force unique et un couple unique ; la force unique étant détruite par le point fixe, il nous suffira d'écrire, dans le premier cas, qu'il y a équilibre entre le couple des forces de percussion et le couple des quantités de mouvement, prises en sens contraires ; et, dans le second cas, qu'il y a équilibre entre le couple des forces motrices et le couple des forces d'inertie.

Nous devrons donc chercher à déterminer, d'une part, le couple des quantités de mouvement, et, d'autre part , le couple des forces d'inertie , par rapport à trois axes fixes dans le corps et mobiles avec lui, ces axes étant d'abord quelconques.