Soient 01 l'axe instantané (fig. 54), w la viteèse
angulaire de la rotation, p, g, r ses composantes suivant les axes mobiles Oœ, Oy.Oz; m un point du corps, œ, t/, z ses coordonnées, et p sa distance à l'axe 01.
La vitesse de ce point m est v =-= wp ; ses composantes suivant les axes sont données par les formules (I, n® 156) :
Fig. 54.
dy
dz
De ces équations on tire :
dœ , dy . dz
dœ ^ dy ' dz
On en ronclut que la vitesse v est perpendiculaiy^e au rayon vecteur Om, et à Vaxe inslpiniané de rotatio7i ; elle est donc perpendiculaire au plan mOh
254. D'autre part, si l'on désigne par 2T la force vive totale du corps, on a : . .
ou bien :
dm
2T = f \iq^-- ryf + (rx — pzY + (py — qxf \
= Ajo* + B$2. -f Cr« — 2Dçr — 2Epr— 2Fpq.
On a d'ailleurs aussi :
2T = f-^ dm = l^isyydm = w« ffdrk = w«I,
I étant le moment d'inertie du corps par rapport à l'axe 01.
265. Cherchons maintenant les œuples composants du couple des quantités de mouvement. En désignant ces couples par L^ Mj, Nj, nous aurons :
En remplaçant -yt' Ift' Iff ^^^ ^^^^ valeur, il vient :
h^ -= J \y (py — qoc) — z (rœ — pz) \ dm, ou bien :
Lj -= Ap — Fj — Er ; on trouve de la même manière :
Ml « Bç — Dr — Fjo, Ni « Cr — Ep — Dg. ;
Ce sont les expressions des trois couples composants du couple des quantités de mouvement par rapport aux axes mobiles avec le corps.
Connaissant ces trois couples, nous aurons immédiatement les équations du mouvement initial du corps sous l'action des forces d'impulsion. En effet, en
désignant par L, M, N les sommes des moments des forces d'impulsion par rapport aux axes mobiles, nous aurons (n** 25S) :
L ^ Ap — Fq — Er,
M ^ Bj — Dr - F/), (3)
N — Cr — Ep — Dq.
Telles sont les équations du ^nouvement initial d*iin corps solide au repos^ retenu par un point fiœe^ et sollicité par des forces d'impulsion.
256. Remarque. — Si l'on suppose que les axes mobiles par rapport auxquels on prend les sommes des moments des forces d'impulsion, et les sommes des moments des quantités de mouvement, sont les axes principaux du corps, on a (n^ 144) :
D = 0, E = 0, F = 0; par suite, les équations du mouvement deviennent :
M = Bq, (4)
N «^ Cr.
De ces équations on tire :
la vitesse uiigulaire a» de la rotation initiale est donnée \}sr la formule : . ; :
et cette rotation s'effectue autour d'un axe dont la direction fait avec les axes coonfonnês des angles «, (3, y donnés par les formules :
cos a *^ .A I'.; ♦ cos p.~^ >^ ■ i
cos y == —;=^
VP^ + ?* + r'
257. Propriété. — Il est facile de voir que les seconds membres des équations (3) ne sont autres que les dérivées partielles de la fonction T {rf 254), prises respectivement par rapport à /;, ^, r. On a donc pour les équations du mouvement :
dp oq or
Ces équations expriment la propriété suivante : Les trois couples composants du couple d'impulsion sont respectivement égaux aux dérivées partielles de la moitié de la force vive du solide par rapport aux trois composantes p^ q, r de la vitesse angulaire,
258. Propriété. — La somme des mœnents des quantités de mouvement par rapport à Taxe 01 est égale à la composante du couple d'impulsion suivant ce mêtne
axe 01. ,: *
En effet, on a pour la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe 01 :
/ vdm . p =5s / (op*rfm == wl,
I étant le moment d'inertie du corps par rapport à 01. D'autre part, on a aussi, en désignant par G le moment du couple d'impulsion :
ces (w, G) == -^ -^ ;
<l'où :
«G cos (w. G) = Lp + A^^ 4- Nr
^t, en remplaçant L, M, N par leurs valeurs (3)
mG cos («, G) = A/9« + Bî^ + Cr«
— 2\)qr — 2Er;î — 2Fpq == w^j .
<roii :
Gcos(w, G) «=• wL
Par conséquent,
G cos («, G) == / vdm . p,
ce qui démontre la propriété énoncée.
259. Théorème. — Vaœe instantayié de la rotation^ produite par le couple de^ forces d'impulsion est le diamètre conjugué au plan de ce couple dans Vellipsoïde central relatif au poi7it fixe.
En effet, les cosinus directeurs de l'axe instantané avec les axes principaux relatifs au point sont
proportionnels à p, q, r, c'est-à-dire (n* 256) à
-, , ~. Or, l'équation de l'ellipsoïde central rapporté
