ABC

à ses axes principaux Ox, Oy, Oz est :

Le plan du couple d'impulsion ayant pour équation :

LX + MY + NZ = 0,

le diamètre conjugué à ce plan dans l'ellipsoïde fait

avec les axes des angles dont les cosinus sont proï)or-

tionnels à t-, -5, ^. Par conséquent, Taxe instantané

est conjugué au plan du couple d'impulsion, et le théorème est démontré.

260. Passons maintenant au cas où le solide est sollicité par des forces continues. Nous aurons à chercher (n^ 252) les sommes des moments des forcer dUnerlie par rapport à trois axes fixes dans le corpset mobiles avec lui.

A cet effet, nous chercherons les sommes des moments^ des forces effectives par rapport à ces mêmes axes, que nous supposerons d'abord quelconques. Nous aurons donc à déterminer les expressions :

Or, on a pour les composantes de l'accélération totale du point m :

d'x l dz dy\ I dq dr\ dli ~Vdt ^ dt}'^Vdi~y dtr

d^}/ I dx dz^\ y ( dr dp\

'W~\Tt ^dll'^r'di^^dlr

d^l dt^

V'dê ^Ttl + \^ di ""-dtr

De ces formules on conclut que la force effective en un point m du corps est la résultante de deux forces F et F', ayant respectivement pour composantes :

Il est facile de voir que la première force F est normale à la trajectoire de l'élément dm, et à l'axe instantané 01.

En effet, on a identiquement :

/ dz dfj\ j / dx dz\ , , / di/ dx\ , .

l dz di/\ I dx dz\ , / dy dx\ .

\i-m-''7ii) i; ■'■ y'-dî-^di) ^ + (p-â-^di)''^^-

Cette composante F est donc une force centripète.

L'autre composante F est une force tangentielle ; sa direction est précisément celle que prendrait Télément dm, si le système était sollicité par les trois vitesses angulaires dp^ dq, dr autour des axes Ox, Oi/, Oz, c'est-à-dire par les vitesses qui, se composant avec les vitesses angulaires jo, q, r, déterminent la nouvelle position {p + dp, q + dq, r + dr) de l'axe instantané au bout du temps dt.

Observons ici que, si nous imaginons les deux cônes qui servent à représenter le mouvement (I, n"* 110), on peut dire que cest aux forces centripètes qu'est dû le contact d'un cône sur l'autre, et aux forces tangentielles qu'est due la succession des axes instantanés de rotation.

261. Si nous reprenons les équations (5), et si nous désignons par L,, Mj, N\ les couples composants du couple dos quantités de mouvement, lesquels ont pour ■expressions :

il est évident que Ton a :

dN, dt

Or, comme on a :

L, = Ajo — Fg — Er, Mj =B$' — Dr — Fp,

N, = Cr — Ejo — Dg,

on en conclut :

, .dp dq

dt ^ dt ^ dl'^^ dt * dt ^ dt'

dt'

dr It

dp dq dt dt

dE dt

dp dt*

Ce sont les expressions des trois couples composants du couple des forces effectives, rapportés aux trois axes mobiles avec le corps.

Si donc nous désignons par L, M, N les trois couples composants des forces extérieures appliquées au corps solide, ou les sommes des moments de ces forces prisespar rapport aux axes mobiles, nous aurons (n** 252) pour les équations du mouvement du corps :

dp dq ^dr dk (^ r^^-i

^ dJ~^ 'dé ~ ^di + ^ dt ^ di~' dJ-^'

^dq ^dr „dp . dB dD rfP , . „

^m-^dî-^di-^^di-'^dt-Pdt-^' ^

^dr ^dp r^dq ^ dC dE dD

''dt-^I-^-i+''dî-p-di-^dt''^-

262. Les premiei^ membres de ces équations peuvent être mis sous une autre forme qui nous conduira à certaines remarques importantes. En effet, des formules :

A « /*(y« + z^)d77i, B= / (X'+ z^) dm, C = f[x'^ 4- y«) dm,

D =-' I yzdm, E = / xzdm, F = / xydm, on tire :

dk d¥ rfE ^ ri dy , dz\ ^

Pdt-^Ti-''di=^pJ(yit+'di)'^'''

dy . dx

*/(^i + 2/^f)rfm

r l dz ^ dx\ .

mais, des deux équations (n° 253) :

dx . dy ^ dz ^

dx ^ dy , dz

on tire :

/ dy , dz\ I dy , dz\

Par conséquent, en substituant et réduisant, on a : rfA rfF dK ri dy dx\ , ri dx dz\ ^

= çN, — rM,.

On a donc :

dt ^dl ^ dt ^ dt ^^^' ^^" dt ^ dt ^ dt " dt ^^^' ^^"

rfN, „dr „dp r^dq , .. .

-dt^-^di-^I-^di-^P^^-^^^'

«t, en posant ':

'W~ dt dt dt'

à^i rfr dp dq

dt ~^ dt dt " dt'

il vient :

Les équations (7) du mouvement peuvent alors être mises sous la forme suivante :

% + gN, - rM, - L,

+ pMi — çLi = N.

Ces équations déterminent les composantes p, g, r de la vitesse angulaire de la rotation instantanée ► Ces composantes connues, on déterminera les angles tp, ^, 9 au moyen des formules (1).

263. Remarque. — Les équations (10) prennent une forme plus simple, si Ton prend pour axes mobiles les axes principaux du corps. On a alors D = 0, E =« 0^ F s= ; les équations (6) nous donnent :

Li -= Ajo, Ml = Bq, N^ = Cr,

et les équations (8) deviennent :

(?Li rfp dMj^ - p ^ ^ ^r — W^ dt' dt ''^ dt' dt ^^ dt'

Les équations (10) prennent la forme suivante :

B ^ + fA - C) rp = M, (11)

C J + (B-A)pg = N.

Ce sont les équatioiis d'Euler. Elles ne renferment pas les réactions du point fixe : c'est ce qui résulte de la manière dont elles ont été établies. D'ailleurs, si l'on introduisait les réactions du point fixe, ces réactions devraient être comprises parmi les forces extérieures, c'est-à-dire dans les seconds membres de (11). Mais, les moments de ces réactions par rapport aux axes fixes dans le corps sont constamment nuls, et par conséquent n'entreront pas dans L, M, N, qui ne contiendront donc que les moments des forces extérieures par rapport aux axes principaux du corps.

Ces équations (11), jointes aux équations (1), nous donnent six équations différentielles du premier ordre pour déterminer les six fonctions jo, q^ r, cp, A, ^ en fonction de t. L'intégration de ces équations introduit six constantes arbitraires que l'on détermine par les circonstances initiales du mouvement , c'est - à - dire les positions initiales «Po, ^^o» ^o ^t les vitesses angulaires initiales p^, Qo, ^o-

Lorsque L, M, N sont exprimés en fonction de p, q^ r, t seulement, l'intégi^ation des équations (11) donnera p, q, r en fonction de t, avec trois constantes arbitraires ; substituant ces valeurs dans les équations (1), on aura trois équations pour déterminer <p, ^, 6 en fonction de t^ avec trois nouvelles constantes arbitraires.

Si L, M, N sont donnés en fonction de ?, '|, 9, t, ce qui est le cas le plus général, il faudra éliminer /;, q, r entre les équations (1) et (11), ce qui nous conduira à trois équations différentielles du second ordre entre les variables 9, ^, et le temps t.

264. Propriété. — Les équations (9) donnent lieu à des remarques importantes.

Si nous observons que L^, M,, N^ sont les coordonnées du pôle du couple des quantités de mouvement^ par

rapport aux axes mobiles, -^^ —rr^ -37» seront les ^* ' dt dt dl

composantes de la vitesse absolue de ce pôle parallèlement aux axes mobiles.

Les équations (9) nous apprennent que la vitesse absolue du pôle, considéré comme un point mobile, est la résultante de deux vitesses partielles : Tune, qui a ])our composantes gNj — rMj, rh^ — pNj, pM, — qh^, ost la vitesse que le pôle aurait s'il était invariablement lié au corps solide (I, n° 156), c'est-à-dire la vitesse

d'entraînemeiit ; l'autre, qui a pour composantes -rf^

— TT^ y —Tj » est la vitesse relative du pôle, telle qu'elle

apparaîtrait à un observateur qui participerait au mouvement.

265. On reconnaît facilement que ces deux vitesses partielles représentent en grandeur et en axe, la première la composante du couple des forces effectives qui se rapporte aux forces centripètes, la seconde la composante de ce couple qui se rapporte aux forces iangeiitielles.

j . Nous appelons ainsi l'extrémité de l'axe du couple des quantités de mouvement.

En effet, les composantes de la force effective centripète pour un élément dm étant (n^ 260) :

/ dz dy\ , I dx dz\ . I dy dx\ ^

YTt-''tir'^ i^'di-PTtr"'' \^ti-^-dir"'^

nous aurons pour la somme des moments de ces forces par rapport à l'axe des œ :

/(/ dy dx\ I dx dz\ \ .

ri dy , dz\ , C dx ^ r dx j

/7 dy dx\ , ri dx dz\ ^

D'autre part, les composantes de la force effective tangentielle pour l'élément dm étant (n^ 260) :

/ dq dr\. / dr dp\ . 1 dp dq\.

v^-y-dir'' y'Tt-'-èr''^ vlt-'^dir'^^

nous aurons pour la somme des moments de ces forces par rapport à l'axe des x :

r\( dp dq\ / dr dp\ } ,

dt dt dt dt

La propriété énoncée est donc démontrée.

266i. Remarque. — Les équations (10), et les équations (11) qui se rapportent au cas particulier, n'expriment donc rien autre que le théorème connu {n^ 186) que l'axe OG du couple résultant des forces extérieures relatif au point pris pour origine est égal et paralèlle à la vitesse du point K extrémité de l'axe du couple résultant des quantités du mouvement.

Il est bon d'observer que l'on aurait pu obtenir les équations (10) et (11) en appliquant directement ce théorème.

En effet, soient Ojt, Oy, Oz les trois axes principaux du corps relatif au point fixe, L, M, N les couples composants du couple des forces extérieures ; les couples composants du couple des quantités du mouvement sont A/3, Bç, Cr ; ce sont les coordonnées de l'extrémité K de l'axe de couple. Les composantes de la vitesse relative du point K par rapport aux axes Ox, Oy, Oz

sont A -^ , B -~ , C -T7 • Pour avoir les comix)santes dt dt dt

de la vitesse absolue du point K par rapport aux axes Ox, 0?/, Oz^ il faut ajouter aux composantes de la vitesse relative les composantes de la vitesse (Tenir aînenienf du point K, c'est-à-dire les composantes de la vitesse de ce point supposé invariablement lié au corps^ composantes qui ont pour expressions (I, n"" 156) :

g . Cr — r . Bg, r , Ap — p . Cr, p .Bq — q . kp,

ou bien :

(C - B) qr, (A — C) rp, (B — A) pq.

et nous aurons facilement les équations (11).

267. Cas particulier. — Si les forces extérieures -sont nulles^ ou si elles se réduisent à une force unique passant par le point fixe 0, on a :

et les équations du mouvement (11) prennent la forme jsuivante :

A ^ + (C - B) gr = 0,

On trouve une première intégrale de ces équations, en les multipliant respectivement par/?, q, r et ajoutant; il vient :

Kpdp -\-Bqdq-{- Crdr = 0,

dV)ù, (Ml intégrant,

Ap« + Bq^' + Cr« = h. (13)

h étant une constante. Or, le premier membre de cette équation (13) n'est autre que la force vive totale du système (n"" 254). Elle exprim<î donc que la force vive du système est constante.

(Test d'ailleurs ce qui résulte du théorème général des forces vives (n"" 204), puisque, dans le cas actuel, le travail des forces extérieures est nul.

On obtient une deuxième intégrale des équations (12) en les multipliant respectivement par Ap, Bq, Cr^ et ajoutant ; il vient :

A^pdp + B^qdq + Ch-dr = 0,

d'où, en intégrant,

A^p* + BV 4. c2r« « k% (14)

A« étant une constante. Cette équation exprime que la somme des ^noments des quantités de mouvement est constante pendant toute la durée du moucement.

C'est d'ailleurs ce qui résulte du théorème général des moments des quantités de mouvement, qui nousapprend que, dans le cas actuel (n*^ 188), Taxe résultant des moments des quantités de mouvement reste constant en grandeur et en direction. Cet axe ayant pour composantes Ap, Bg, Cr, ses cosinus directeurs sont

-^ , -^ , -7- . Or, le plan du maximum des aires étant k k k

perpendiculaire à cet axe, il s'ensuit qu'il fait avec les i)lans coordonnés des angles dont les cosinus sont Ap Bq Cr , -94^

Les intégrales (13) et (14) étant connues, on en tire :

j k' — RA + (B — C) Cr»

, k' - AA+ (A - C)Cr«.

B iB — A)

substituant ces valeurs dans la troisième équation (12) il vient :

Comme le temps t croit constamment, dt est toujours^ positif, et Ion prendra le signe + ou le signe — suivant que dr sera positif ou négatif.

L'équation (16), étant intégrée, nous donnera t en fonction de r, et la constante sera déterminée par la valeur initiale de r. On en déduira r en fonction de t, et, par conséquent, p et q au moyen des formules (15). Mais l'équation (16) ne peut être intégrée dans le cas général ; l'intégrale du second membre dépend des fonctions elliptiques.

Elle est intégrable dans le cas où deux des trois moments d'inertie principaux A, B, C sont égaux, ou encore si l'une des quantités telles que k^ — Bh est nulle, parce qu'alors il ne reste plus qu'un radical du second degré.

268. Il est facile de voir que, si l'on supposo A < B < C, les expressions k^ — Ah et k^ — Ch sont toujours de signes contraires, et que la quantité A* — B^ peut seule devenir nulle.

En effet, des équations (13) et (14) on tire facilement :

A« — AA = B (B - A) (?« + C (C — A) r«, A« — BA = A (A - B) p« + C (C — B) r«, At cA = A (A — C) ;o« + B B C) j*,

et, il est évident que k^ — Ah > 0, k' — Ch < 0; tandis que l'expression ft* — Bh peut être positive, négative ou nulle. Ainsi donc, de ces trois quantités une seule peut être nulle : c'est celle qui correspond à l'axe moyen de l'ellipsoïde d'inertie ; les deux autres sont toujours de signes contraires.

269. Remarque. — On peut calculer la vitesse angulaire w en fonction de ^ de la manière suivante qui a l'avantage de donner des formules symétriques.

De l'équation :

(^2^pij^qi + r\ (17)

ctn tire :

d\ï dp dq , dr

dt) do dï* et, en remplaçant -4j^ -y^» -ir par leurs valeui's tirées

des équations (12), il vient :

dr,^ (A — B) (A — C) (B - Cl ""•dt-J'^'^ • ÂBÔ

D'ailleurs, les équations (13), (14) et (17) nous donnent :

^ k^ - (B + C) fe + BCto^

^^ "■ ^ lA - B) lA — C)

^ /A* — (0 -h A) A -h ACw«

^ / ^» — (A -h B) A + BÂÔj»

et, par suite,

V |(B -I- C)A— A«— BCoV^i Î(A4- C)A - ft«— ACw^lJ (A+B)/i— A*— ABw«j '

Cette équation, étant intégrée, nous donnera m en fonction de t, et alors les équations (18) déterminent p, g, r en fonction de t, et le problème sera résolu.

Méthode de Poinsot.

270. La solution analytique du problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe est très compliquée. Comme nous venons de le voir, même dans le cas particulier où il n'existe pas de force motrice, le problème nous conduit à une intégrale elliptique. On ne peut donc pas déterminer le mouvement d'une manière complète. Mais, oii peut démontrer, par la méthode de Poinsot, les propriétés géométriques du mouvement.

271. Théorème. — A chaque instant^ Vaxe instan- J;ané de rotation est le diamètre conjugué au plan du couple résultant des quantités de mouvement dans ^ellipsoïde central.

Soient Ox, Oy, Oz les axes principaux du point à un instant quelconque. L'équation de l'ellipsoïde central est :

Le mouvement du corps à cet instant est une rotation

instantanée autour de Taxe 01 (fig. 55). Soient P le point où cet axe instantané rencontre la surface de l'ellipsoïde central, point que nous appellerons le pôle instantané^ x\ y\ z^ les coordonnées de ce point, et MN le plan tangent en ce point à l'ellipsoïde central.

L'équation du plan tangent étant :

AXo?' + BYy' + CZ^' - 1,

nous allons démontrer que ce plan est parallèle au plan invariable du œuple résultant des quantités de mouve^ ment^ ou au plan du fnaœimum des aires, lequel a pour équation :

L,X + MiY + N,Z«0,

ou bien :

ApX + B^'Y + CrZ — 0.

En effet, le point a?', y\ z' étant sur l'axe instantané 01, à une distance OP «= p de l'origine, nous aurons pour les cosinus directeurs de l'axe 01 :

CCS a r= — , ces

ces Y — — ,

mais, on a aussi :

cos a == ^ , cos p «- - , cos y = - .

On en conclut que jo, -3, r sont proportionnels à o(f^ y\ z' ; donc Ap, Bg, Cr sont proportionnels à kx\ By\ Cz\ Il résulte de là que les deux plans sont parallèles, et, par suite, l'axe 01 est conjugué au plan du couple résultant des quantités de mouvement.

Par conséquent, si l'on mène à l'ellipsoïde central relatif au point un plan tangent perpendiculaire à l'axe du couple résultant des quantités de mouvement, le point de contact P de ce plan sera le pôle instantané de la rotation.

272. Théorème. — La vitesse angulaire de la rotation instantanée est proportionnelle au demi diamètre qui va du centre au pôle instantané de rotation.

En effet, l'équation des forces vives :

nous donne:

I étant le moment d'inertie du corps relatif à l'axe 01. Or, p étant le demi diamètre OP, on a (n** 143) :

P par conséquent,

-- « ft, d'où : (0 « p [/h,

ce qui démontre le théorème énoncé.

273. Théorème. — Le plan tangent qui passe par le pôle instantané de rotation est à une distance constante du point fixe,

p]n effet, si du point fixe on abaisse une perpendiculaire OQ « 3 (fig. 55) sur ce plan, on a :

[/K^ûcf^ -h B'y* + C»^'*

Or, en égalant les valeurs de cos a, cos (3, cos y, trouvées ci-dessus (n° 271), on a :

01 CO (a)

par conséquent.

*^ ^= const.

P^/a'jo* -+- B'^î'^ -h L'^r»

Ap ft

Comme d'ailleurs la direction de ce plan tangent parallèle au plan du maximum des aires est aussi constante, il s'ensuit que ce plan tangent sera co77iplè-' tentent fixe dans Vespace,

274. Propriété. — Il est évident que OQ est la projection de la longueur OP sur la direction de Taxe OQK, qui est Taxe des moments des quantités de mouvement. Or, nous venons de démontrer que cette longueur OQ est constante ; par conséquent, la l)rojection de la longueur OP sur l'axe OQK est constante. Il en sera de même de la projection sur OQK de la vitesse angulaire w, laquelle est proportionnelle à OP. Donc, la vitesse angulaire de la rotation^ estimée suivant Vaxjce des moments des quantités de mouvement^ est constante.

275. Image du mouvement. — On peut résumer les propositions que nous venons de démontrer dans l'énoncé suivant qui forme le théorème de Poinsot\

Théorème. — Si Von cojisidère les positions successives de Vellipsoïde central pendant la rotation du corps ^ on peut se représenter le mouvement du corps en concevant que Vellipsoïde central dont le centre est maintenu fixe se meuve de manière à 7^ester constamment en contact avec un plan fixe dans Vespace absolu sur lequel Vellipsoïde roule sans glisser, Uaxe instantané de rotation est à chaque instant le diamèti'e qui passe par le point de contact, et la vitesse angulai7*e de cette rotation est proportionnelle à ce diamètre.

Pour déterminer ce plan fixe, on prendra sur l'axé OK,

à partir du point fixe 0, une longueur OQ = — — »

€t Ton mènera par le point Q un plan MN perpendiculaire à OK.

276. Remarque. — Le mouvement relatif de l'ellipsoïde par rapport au plan ne sera pas modifié, si on laisse l'ellipsoïde fixe, et si l'on fait rouler le plan MN sur la surface de cette ellipsoïde de manière que sa distance au point reste constante.

277. Propriété. — Le point de contact du plan et de l'ellipsoïde, c'estrà-dire le pôle instantané, décrit sur la surface de l'ellipsoïde une courbe que Poinsot a appelée po/Aoc?e> ^ Ce même point décrit sur le plan fixe une seconde courbe, appelée herpolhodie^, sur laquelle la polhodie vient rouler dans le mouvement relatif. Ces deux courbes sont les bases des deux cônes

1. Poinsot. Théorie nouvelle de la rotation des corps, p. 77.