CHAPITRE IL

Mouvement curviligne d'un point libre.

12. D'après ce que nous avons vu, si la direction de la force qui agit sur un point matériel libre est variable, ou, si la direction de la force étant constante, le mobile a reçu une vitesse initiale dont la direction ne coïncide pas avec celle de la force, le 7nouve77ient est curviligne.

Or, nous savons que, de quelque manière que la force varie en grandeur et en direction, l'accélération totale du mouvement de ce point est à chaque instant dirigée suivant la direction de la force, et qu'elle est de même sens. Nous savons aussi que, m étant la masse du point matériel, la grandeur de la force est liée à la grandeur de l'accélération par la relation (I, n** 198) :

13. Cela posé, proposons-nous de trouver les équations différentielles du mouvement d'un point matériel libre soumis à V action d'une force donnée P.

Rappelons-nous d'abord que si l'accélération © est la résultante de plusicm^s accélérations ?', 9", ... la force P est de même la résultante des forces P', P",... respectivement égales à mcp', m^",.- appliquées suivant

les directions de ces accélérations. En d'autres termes, à toute décomposition de l'accélération totale correspond une décomposition analogue de la force P.

D'après cela, soient a?, y, z les coordonnées du point matériel m, rapporté à trois axes rectangulaires, m la masse de ce point, et P la force qui le sollicite. Nous pouvons décomposer l'accélération ç parallèlement aux axes, et nous aurons pour les accélérations des mouvements projetés :

d^x iPy â^z di^ ' dt^ ' rf^ '

La force P peut être décomposée suivant les trois mêmes axes. Soient X, Y, Z ses trois composantes : elles sont respectivement égales au produit de la masse m par l'accélération correspondante. Nous aurons donc les équations :

d^œ dt^

Ce sont les équations différentielles du mouve7ne7it.

Remarque I. — Si le mouvement s'effectue dans un plan, on peut le rapporter à deux axes rectangulaires pris dans ce plan, et les équations différentielles du mouvement seront :

Remarque II. — On peut aussi décomposer l'accélération cp en deux accélérations ; l'une tangentielle, l'autre centripète, qui ont pour expressions :

dv v'^

~~rT » et — »

at p

p étant le rayon de courbure de la trajectoire.

Si l'on décompose la force P en deux forces dirigées, l'une T suivant la tangente, l'autre N suivant la normale principale ou le rayon de courbure, ces deux composantes étant respectivement égales au produit de la masse par l'accélération correspondante, nous aurons les deux équations :

La force T s'appeUe la force tangentielle, et la force N la force centripète.

On voit par ces deux- dernières équations que le changement de grandeur que la vitesse du mobile éprouve avec le temps est uniquement dû à la foi^ce tangentielle, et lé changement de direction de cotte vitesse est uniquement dû à la force cejitripète.

On en conclut encore que, si la force tangentielle est constamment nulle, c'est-à-dire si la force P est à chaque instant normale à la trajectoire, la vitesse du mobile sera constante, et le mouvement sera uniforme; si la force P est à chaque instant dirigée suivant la tangente à la trajectoire, cette trajectoire sera une ligne droite (p = oo).

Intégration des équations différentielles

du mouvement.

14. Problème I. — Connaissant le m^uvonent d'un point matériel, trouver la fot^ce motrice et la vitesse du point à un instant quelconque.

Si le mouvement du point matériel est donné, on connaît a?, y» ^ ^n fonction de t, et il est facile de déterminer la force motrice et la vitesse du point matériel.

En effet, en différentiant, on a les valeurs de

il Y* fil I fi '"

ir» -TT'-iT- ^^ fonction de t, et, par suite, on connaît (It dt dt '-

la vitesse en grandeur et en direction.

En différentiant de nouveau, on obtiendra les valeurs

d'^ ce d'*'9/ d' z do -ITT» -jfî^ -fjô^ et, par conséquent, on connaîtra

la force motrice en grandeur et en direction.

15. PROBLÈîkiE IL — On donne la force motrice en fonction du temps t, de la vitesse et de la position du mobile, et Von demande de déterminer le mouvement du imni matériel.

Supposons donc que Ton donne X, Y, Z en fonction de t,x,y, z, v^.Vy, v^ : nous aurons les trois équations :

-r,\t,œ,y,^, e/r dt' dt)'

^L - f It nr y . ^ ^ ^\ \ m atz -n[t,x,y,., ^^, ^^, ^^j. I (1)

d^z ^ ( dx dy dz\

-âtï -= /3 ^^ ^» y^ ^' rf7' ^' -ai)

Nous avons donc à intégrer trois équations différentielles simultanées du second ordre. Les intégrales de ces équations, c'est-à-dire les équations finies du mouvement, renferment six constantes ar))itraires distinctes, et Ton a :

X a^ Çj (&, Cj, Co, C3, C?4, C5, C'g),

Pour déterminer ces constantes, il suffît de connaître pour ^ = 0, c'est-à-dire pour Torigine du temps, la position du mobile, et sa vitesse en grandeur et en direction. On doit donc connaître les coordonnées •^0' y^i^ ^0 ^^^ mobile pour ^ = 0, et les valeurs (^ir)o' (^î/)o» (^'2)0 des composantes de sa vitesse pour ^=0.

Or, si l'on fait i = dans les équations (2), et si l'on

y fait en même temps x = x^,y = 2/0' ^ "^ ^0» ^^ ^^^^^ trois équations entre les six constantes.

D'autre part, en différentiant les équations (2) par rapport à t, on a pour les composantes de la vitesse du mobile :

duc ... »

~3J Yi (^ ^1% ^2» ^3» ^4' ^5' ^e)»

"^ "^ rS ^^J ^1' ^2' ^3» ^4» ^5* ^6/» / (^)

'^" '^ YC (^» ^l> ^«» ^3» ^4' ^5» ^*«/*

Si l'on fait, dans ces équations (3), ^ = 0, et en même

• 1, , dx dy dz , ,

temps SI 1 on y remplace -ji'-Tf'-ji P^r leurs valeurs

initiales {v^)^, (^?/)o» (^'2)0* ^^ ^^^^ *^^^s nouvelles équations entre les six constantes.

Nous aurons donc en tout six équations pour dét^erminer les six constantes. En substituant les valeurs ainsi obtenues de ces constantes dans les équations (2) et (3), on a les équations définitives du mouvement. Enfin, en éliminant t entre les équations (2), on aura deux équations en x, y, z, qui seront les équations de la trajectoire.

Remarque. — On peut résoudre les équations (2) et (3)

par rapport aux constantes qui seront ainsi exprimées

dx d\i dz en fonction de t, x, //» ^» "77 » 777» "it- Les équations (2)

et (3) peuvent donc être remplacées par les six équations :

/, dx dy dz\ \

, /. dx dy dz\

/ dx dy dz\ \

c,--Y,yt,x,y,z.-^^. -^, -^j. 1

Ainsi donc, Tintégration des équations (1) nous

donne six fonctions de t, a?, y, '^^ 7/7 ' "^ • 777 * ^^^

restent constantes pendant toute la durée du mouvement. Ces six équations sont ce que Ton appelle les intégrales des équations du mouvement.

16. Propriété. — Toute autre fonction des mêmes variables qui resterait constante pendant toute la durée du mouvement sera exprimable en fonction des six premières fonctions.

En effet, si aux équations (4) on ajoute une septième équation :

« I . dx dy dz\

^(i'^^y'^'Tt'-i'di)^ (5)

c étant une nouvelle constante, on pourra éliminer ^> y, ^, 737» 7^» 37 entre les équations (4) et (5), et l'on obtiendra une équation :

F (^ c,, C2, C3, c^, C5, Cg, c) = 0. (6)

Or, de cette équation il résulterait que c varie avec le temps, ce qui est contraire à l'hypothèse. Si donc c est une constante, le temps t doit disparaître de lui-môme de l'équation (6), et cette équation exprime alors c en fonction des six constantes Cj, c^,... Cg seulement. Par conséquent, l'équation (5) rentre dans les équations (4) : elle n'exprime pas une propriété du mouvement distincte de celles qui résultent des équations (4).

Remarque. -^ Il résulte de ce que nous venons de voir que le problème de l'intégration des équations

du mouvement d'un point matériel se réduit à chercher

dcc du dz six fonctions de t, œ, y, z, —rri -jp •^, qui restent

constantes pendant toute la durée du mouvement.

Donc, du moment où, par une combinaison quelconque des équations du mouvement, on parvient à une équation integrable, l'intégrale de cette équation sera une integi^ale du problème. N'oublions pas que chaque intégrale exprime une propriété du mouvement.

Il arrive même, dans certains cas, que Ton peut trouver des intégrales nouvelles au moyen des intégrales déjà obtenues. Ainsi, par exemple, en appliquant une méthode remarquable due à Jacobi, et que nous avons exposée ailleurs \ on peut, dans certains cas, connaissant deux intégrales d'un problème de Mécanique, en déduire une troisième par de simples différentiations.

1. Sur V intégration des équations de la Mécanique, Liège, Desoer, 18^.