AX« ( A* — AA) + BY* (A2 — BA) + CZ« ( A« - CA) = 0. (D
C'est l'équation du lieu. Comme les expressions h^ — AA et A' — CA sont de signes contraires (n^ 268), <;ette équation représente un cône elliptique du second
degré ayant pour sommet le centre 0. Il est évident^ puisque k^ — M > 0, A* — C/i < 0, que Taxe de ce cône sera le grand axe ou le petit axe de l'ellipsoïde central, suivant que k^ — Bh sera négatif ou positif,
c'est-à-dire suivant que l'on aura -tt ^ -^' Or, comme
on a (n** 273) : d^ = OQ == -r-» il en résulte que le cône
aura pour axe le grand axe ou le petit axe de l'ellipsoïde
suivant que o^ sera plus grand ou plus petit que b =" ^'t
c'est-à-dire suivant que la distance $ qui est comprise entré a et c sera plus grande ou plus petite que Taxe moyen de l'ellipsoïde.
On conclut de là que la polhodie peut être considérée comme l'intersection de la surface (D) avec l'ellipsoïde central. C'est donc une courbe fermée à double courbure qui entoure le sommet du grand axe ou celui du petit axe de l'ellipsoïde, suivant que à > b o\x < b.^
Il est évident que le cône (D) devient circulaire autour * de l'un des axes principaux, si les moments d'inertie relatifs aux deux autres sont égaux. Il se réduit à deux plans, lorsque k^ — BA = 0.
Observons que cette équation (D) peut être obtenue en combinant les équations (A) et (B).
280. Cherchons encore le lieu de Vaxe du coupl^^ résultant des quantités de mouvement. Cet axe est, comme nous l'avons vu (n^* 267), immobile dans l'espace : il en résulte qu'il traverse le corps en mouvement suivant une série de droites qui forment un cône.
l. Pour ]a discussion de cette courbe, voir le Mémoire de Poinsot^
Les équations de l'axe de ce couple sont :
Kp Bq Cr '
p, g, r satisfaisant aux équations ci-dessus (C) : ce sont les équations d'une génératrice du cône. Pour obtenir l'équation du cône, nous devons éliminer p, q, r ; or, on a :
Les deux derniers rapports nous donnent, en ayant égard aux équations (C) :
ou bien :
C'est l'équation du lieu : elle représente aussi un cône elliptique du second degré.
Cas où deux des moments principaux d'inertie
sont égaux.
281. Supposons, par exemple, B = A ; l'ellipsoïde central est de révolution autour de l'axe des z. Les équations du mouvement sont alors :
dq C ~ A M
dt A ^^^A
ç^ ^ N dt C'
Dans le cas particulier où N '= 0, on a :
- «= 0, d'où r =» const. = n ; dt
n sera évidemment la composante de la vitesse angulaire initiale suivant l'axe Oz. Si nous posons :
1 et fi étant des quantités qui peuvent être variables, les équations du mouvement deviennent :
dt ^ *^ '' dq
Lorsque l et fx sont des fonctions de t seulement, -ces deux équations sont faciles à intégrer. A cet effet, nous intégrerons d'abord les équations privées de seconds membres :
De la seconde on tire :
1 do ^ y dt
^t, en substituant dans la première, on a :
L'intégrale générale de cette équation est :
5 =»= P sin yt + Q cos yt, P et Q étant des constantes arbitraires.
On on déduit :
p = P cos y^ — Q sin y^.
Pour intégrer les équations avec seconds membres, il suffit de considérer P et Q comme des variables, et l'on aura pour déterminer les fonctions P et Q les deux équations :
dp
=» / ces yt + jjL sin yi.
dt
dQ dt
= — / sin yt + IX CCS yt ;
par conséquent, si X et u sont des fonctions de t, les fonctions P et Q seront données par des quadratures.
282. Proposons-nous maintenant d'étudier le cas^ particulier où l'on a :
On a alors, comme dans le cas précédent,
r « const. = n,
et, en posant, comme ci-dessus :
les équations du mouvement sont :
On en tire Téquation du second ordre
dont l'intégrale générale peut être mise sous la forme :
p = asin(y^ + 8),
a et p étant des constantes arbitraires que l'on détermine par les circonstances initiales.
On en déduit :
q = — acos(y^ + P).
D'ailleurs, les intégrales (13) et (14) (n^* 267) nous donnent, dans le cas actuel,
A (p« + g«) -f Cfâ* « h, A* (p2 + (f) + C^n^ = A« ;
d'où l'on tire :
pt j^ q^ ^ const. =? m^,
et il est évident que m sera la projection de la vitesse angulaire sur le plan des xy.
Or, on a aussi :
rp^J^q^^ a«,
par suite,
et, par conséquent,
;2 « msin(y^ + p), q =^ ^m cos (y^ + P).
Si, dans ces équations, on fait f -« 0, il vient :
p^ =. m sin p, îo = — wi cos 3,
équations qui serviront à déterminer m et j3 en fonction:
de p^ et îo-
D'ailleurs, comme l'axe OK du couple résultant des. quantités de mouvement est fixe (n^ 267), nous pouvons le prendre pour l'axe OZj (fig. 56) ; d'autre part, le&
projections de OK sur les axes Oo?, Oy, Oz étant respectivement égales à Ap, kq^ Cn, on a :
cos 9
Cn
Cn
const.
L'angle 6 est donc constant, et, par conséquent, Vaœe de révolution de Vellipsoïde central fait un angle constant ai^ec Vaxe OK du couple résultant des quantités de mouve^nent ; en d'autres termes, cet aœe de révolution décrit un cône circulaire droit autour de OK.
883. La vitesse angulaire de la rotation est donnée par la formule :
= |/jo* -)- g* -f r* = [/m^ -f n* = C07ist,
Donc, le ynouvement de rotation est uniforme.
dB
