De ce que 6 -= const., il résulte que

et alors les formules (n° 250) qui relient jo, q, r aux angles ?, ^, 6 se réduisent aux suivantes :

dw p = sinQsin^j; --jj^

^ = sin 6 ces tL --? ,

ddi , ^ drp dt dt

Des deux premières on tire :

tg^=|--tg(y^ + ?).

d'où:

^ = «TT — (y^ + p),

i étant un nombre entier quelconque.

La troisième nous donne :

^ rf<P d^ . , C — A Cn

ces 9-77-= n — -F7"»=w + Y-=wH 1^ — n = -7-

dt dû * A A

rfqo Cn k

~di "^ A cos "" A

et, en intégrant,

9 == r^ + To

Donc, V intersection OA rfw ^ten û?y (c'est-à-dire cfw ^>/an de Véquateur de Vellipsoïde) avec le plan x^y^ du couple résultant des quantités de mouvement se meut d'un mouvement uniforme sur ce dernier plan, c'està-dire autour de Vaxe OK.

285. Propriété. — TJ angle que fait Vaxe instantané 01 avec Oz est constant ; en effet, on a ;

cos (I, Z) = - = - = const.

Par conséquent, le lieu de Vaxe instantané dans le corps est un cône circulaire ayant pour axe OZ, c'està-dire Vaxe de révolution de Vellipsoïde. Il s'ensuit que la polhodie qui est l'intersection de l'ellipsoïde par ce cône sera un cercle.

Il est facile de s'assurer que Vherpolhodie est aussi un cercle. En effet, cette courbe est l'intersection du cône décrit par l'axe instantané dans l'espace avec

le plan fixe. Or, l'angle que fait l'axe instantané 01 avec OK est constant ; en effet, on a :

cos(I,K) = ¥-^ + ¥.^ + ?.- = ^^2l±2l±^

= -r— = const.

Donc, Vaœe instantané 01 décrit dans V espace un cône circulaire droit autour de OK, et, par conséquent, son intersection avec le plan fixe perpendiculaire à OK sera un cercle.

Il résulte de là que le mouvement du corps peut être produit par le roulement d'un cône circulaire sur un cône circulaire.

286. Propriété. — Uaœe fixe du couple résultant des quantités de mouvement , l'aœe histantané de rotation et Vaxe de révolution de Vellipsoide central sont toujours dans un même plan.

Cas où Ton a â^ — BA = 0.

287. Reprenons les équations (13) et (14) (n^ 267), et multiplions la première par B ; nous aurons, en ayant égard à la relation BA -=^ A^, les deux équations :

KBp'^ + BCr2 = ft2 — B^gS

A2p2 4. CV2 = h^ — Wq^ ;

on en tire :

^ -= ^ \/mô^) ^'' - «'«'•

'"^y/mc^)^^'-^'^'-

De ces valeurs on conclut que Ton doit avoir k^ — B^ç* > 0, ou bien q^ < z^- Lorsque ?^ «= b« '

p et r sont nuls, et ils le seront, par conséquent, pendant toute la durée du mouvement, puisque Taxe Oy est alors un axe permanent de rotation (n° 241).

Donc, p et r conservent constamment les mêmes signes, et par conséquent, ceux de leurs valeurs initiales p^ et r^. Substituant les valeurs de jo et r dans la deuxième équation d'Euler, il vient :

dt^±B^^' ^^ ^

On prendra le signe + ou le signe — , suivant que Po ^t ^0 s^^* ^^ mêmes signes ou de signes contraires (puisqu'il en sera de même de p et r) ; suivant l'un ou l'autre de ces cas, dq sera positif, ou négatif.

Si l'on suppose p et r de même signe, on a, en intégrant :

P étant une constante ; et, en posant :