C B)(B-A) AC
il vient :
k Fe —1 , P^ + 1
k Pour < == oo, on a g = ^ 1 et, par suite, jo = 0, r = 0.
Donc, la direction de Vaœe instantané tend vers celle de Vttxe^ du moment d'inertie moyen.
On arriverait au même résultat si Ton supposait p et r de signes contraires.
Mouvement d'un solide de révolution
autour d'un point fixe
pris sur son axe de figrure.
Fig. 57.
288. Considérons un solide de révolution homogène, fixé par un point pris sur son axe de figure, et soumis uniquement à l'action de la pesanteur.
Imaginons par le point (fig. 57) trois axes Oa?p Oj/j, Oz^ fixes dans l'espace, l'axe 0.2:^ étant dirigé en sens contraire de la pesanteur ; menons par ce même point trois axes fixes dans le corps et mobiles avec lui Ox, Oy, Oz, l'axe 0^ étant dirigé
suivant la partie de l'axe de révolution qui fait un angle aigu avec Oz^ à l'instant initial.
Le centre de gravité G
du corps est sur l'axe de
révolution au-dessus ou
au-dessous du point 0.
^i Nous désignerons par l
A la distance OG, et nous
lui donnerons le signe -t-
ou le signe — suivant
que G sera au-dessus ou
au-dessous du point 0.
Soit C le moment d'inertie du corps par rapport
à l'axe Oz qui est principal ; l'ellipsoïde central étant
de révolution autour de 0-3^, les moments d'inertie du
corps par rapport à tous les axes menés par le point dans le plan xy perpendiculaire à Oz sont égaux : nous les désignerons par A, et nous aurons donc B =» A. Désignons encore par <p, ^, 9 les angles qui déterminent la position des axes mobiles Oo?, Oy, Oz par rapport aux axes fixes 007^,0^1,0^^, et par cp', ^', 6' les dérivées de 9, ^, 6 par rapport à t.
On sait (I, n*^ 110) que le mouvement élémentaire du corps est une rotation autour d'un axe instantané 01, passant par le point : ce mouvement peut être décomposé en trois rotations autour des axes O-^p 0^ et OA. Par analogie avec le mouvement de rotation de la terre, on appelle rotation "propre du solide celle qui s'effectue autour de son axe principal 0,3: ; précession, la. rotation qui s'effectue autour de l'axe 0^^, et qui produit le déplacement de la droite OA, que l'on appelle la ligne des nœuds ; nutation , la rotation autour de OA, qui produit la variation de l'angle zOz^^ : les vitesses angulaires de ces mouvements sont respec-
tivement égales a -37, -37» -77.
^ dt dt dt
La seule force motrice est le poids du corps P = M^r, appliqué au centre de gravité de ce corps, M étant sa masse.
La solution du problème sera donnée par les équations (n^ 250) :
^ = (p' sin 6 sin ^ + 0' ces ^,
g «= 9' sin cos ^j; — 6' sJn if, (1)
r = ^{^' + (p' ces 6,
jointes aux équations d'Euler (n° Ô63) dans lesquelles on fait B — A :
A^ + (C-A)îr= L, (2)
A^ — (C — A)pr = M, (3)
Cg-N. (4)
Or, N est la projection sur l'axe Oz de Taxe du couple résultant des forces extérieures, c'est-à-dire de l'axe du couple résultant de la translation de M^ à l'origine. Cet axe étant évidemment dirigé suivant OA, perpendiculaire au plan zOz^, sa projection sur 0^ est nulle, et, par suite, N =^ 0.
Par conséquent, la troisième équation d'Euler nous donne :
Les équations du mouvement sont donc les équations (2), (3) et (5), et la question se réduit à l'intégration des équations (1), (2), (3) et (5). Mais, nous emploierons une autre méthode qui nous conduira à une solution plus simple.
289. Remarquons d'abord que, pour établir les équations générales du mouvement (équations d'Euler), nous avons pris pour axes fixes dans le corps et mobiles avec lui les trois axes principaux du corps relatifs au point 0. Dans le problème actuel, nous pourrons prendre pour axes principaux l'axe de révolution Oz
et deux axes OA et OB perpendiculaires entre eux, et situés dans le plan des ocy^ l'axe OA étant l'intersection du plan des xy avec le plan x^y^ ; l'axe OA est évidemment perpendiculaire au plan zOz^^ et l'axe OB est dans ce plan : c'est l'intersection du plan zQz^^ avec le plan xy.
Cela posé, nous pouvons prendre comme équations du mouvement l'équation (5) et deux autres équations fournies, comme nous allons le voir, par le théorème des forces vives, et le théorème des moments des quantités de mouvement.
L'équation (5) nous donne :
dt ^'
d'où :
r = const. = n,
n étant la composante suivant Qz de la vitesse angulaire initiale.
La troisième équation (1) devient alors :
^' + 9' cos e == n ; (6)
d'autre part, le corps étant soumis à l'action de la pesanteur seule, il existe une fonction de force, et Yintégrale des forces vives existe (n^* 201). Elle nous donne (n° 254) :
Aj&2 + kq^ + Cn« = 2lSD¥e-
Or, on a :
I^Fe = — S fmgdz = — g (^mz) = — Mflr (^i)
Ug\z, — (z;\o ! ,
z^ étant la coordonnée du point G par rapport à l'axe Oz^ ; mais, on a : ^j = / cos 9, {z^^ — l cos a, en désignant par « la valeur initiale de l'angle 6. Par conséquent,
S^Fe «= Mgl (cos a — cos 0) ;
d'ailleurs, on a aussi :
p« + ç2 = e't + (p'2 sin* 6,
et l'équation des forces vives est donc :
A (6'« + cp'« sin« 6) + Cn« = 2Mgl (cos a — cos 6) + A, (7)
h étant une constante qui se détermine par les circonstances initiales.
Enfin, l'axe du couple résultant des forces extérieures étant dirigé suivant la droite OA, perpendiculaire à Oz^, il en résulte que la somme des moments des forces extérieures par rapport à Oz^ est nulle. Par conséquent (n° 187), la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à l'axe Oz^ est constante pendant toute la durée du mouvement.
Pour obtenir la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Oz^, nous prendrons les
sommes des moments par rapport aux trois axes principaux rectangulaires OA, OB, 0^, et nous ferons la somme des projections de ces moments sur Oz^. Or, il est évident que la somme des moments par rapport à OA est Ajo cos d/ — Ag sin ^1^ = A9' ; la somme des moments par rapport à OB est Ap sin ^|> + Ag cos ^ = Acp' sin 9, et la somme des moments par rapport à Oz est Cn. Donc, la somme des moments par rapport à Oz^ est :
A6' cos (AO^i) + A(p' sin 6 cos (BO^,) + Cn ces (.aO^i) = Af ' sin^ 9 + Cn cos 9 ;
nous aurons donc l'équation :
A9' sin« 9 + Cn cos 9 = A, (8)
k étant une constante déterminée par les circonstances initiales.
Les équations (6), (7) et (8) qui sont du premier ordre entre les variables <p, J^, 9 et le temps t serviront à déterminer ces variables en fonction de t, et, par conséquent, la position du corps à un instant quelconque.
