De l'équation (8) on tire

^ k— CncosO ^ ^ A sin^ 9

substituant dans l'équation (7), il vient :

A9'2 + . (ft — Cn cos 5)2 « 2Mgl (cos a — cos 9) + A — Cn«,

ou bien, en posant :

2Mgl CCS a + A — Cw« = H, on a réquation :

AÔ'^ + T-^T^ (* — Cn ces eV = H — 2Mgl ces 0.

Pour intégrer cette équation, on pose cosO == u, et l'on obtient :

A2 (^\ = A (1 — w^) (H — 2M5r^M) — (A — Cnw)^, d'où l'on tire :

dt = ± — .

|/a (1 — w«) (H — 2Mflr/w) — (;!î — Cnuy

Cette équation détermine ^ en fonction de u, et, par suite, u en fonction de t, c'est-à-dire 6 en fonction de t.

D'autre part, l'équation :

, k — Cn cos ^ ^ ÂsïïFô '

nous donne :

rf? k — Cnu

dt "~ A (1 — w2) •

Or, M étant connu en fonction de t, cette dernière équation nous donnera (f en fonction de t.

Enfin, de l'équation (6) on tire la suivante :

rf^ __ {k — Cnu) ù

dt"'^ A (l — w«) '

laquelle détermine ^ en fonction de t.

On voit que la solution du problème dépend des intégrales elliptiques.

291* Cas particulier. — Supposons que le mouvement initial soit une rotation autour de l'axe de figure 0-3: : alors, les composantes jo^, q^ de la vitesse angulaire initiale sont nulles, et les équations :

p CCS 'I — 5 sin A = 6',

jo sin ^ + g' CCS ij; «= ^' sin 9,

que l'on déduit facilement des deux premières équations (1) nous donnent 9'o==0, ^\=^0, et des équations (7) et (8) on conclut, en y faisant ^ = 0,

h = CnS ^ = Cn ces a.

Les équations du mouvement sont alors les suivantes :

^^ + cp' cos = n, A (6'2 + (p'2 sin« G) = 2Mgl (cos a — cos 0), (9) Acp' sin* 6 = Cn (cos a — cos 6).

Proposons-nous de discuter ces équations. D'abord do ce que le premier membre de la seconde est positif, il doit en être de même du second membre : d'où il

résulte que l et cosa — cos9 sont de même signe. Donc, si, au commencement du mouvement, pour^ = 0, on a / > 0, c'est-à-dire si le centre de gravité est au-dessus du point fixe, on aura cosa — cosS > 0, d'où cos a > cos 0, et, par suite, > «. Par conséquent, l'axe de figure 0-3: fera avec la verticale Oz^ un angle 6 qui sera constamment plus grand que l'angle initial a.

Si, au contraire, pour ^ = 0, on a i < 0, c'est-à-dire si le centre de gravité est en dessous du point fixe, on aura cos a — cos 9 < 0, d'où cos a < cos 6, et, par suite, < a. Par conséquent. Taxe de figure Oz fera avec Oz^ un angle qui sera constamment plus petit que l'angle initial «.

De l'équation :

A(p' sin* = Cn (cos a — cos 0),

il résulte que cp' est de même signe que n (cos a — cos 0). Or, si Z > 0, on a cos a — cos > ; par conséquent, 9' et n seront de même signe, et, par suite, le sens de la rotation de OA autour de Oz^ est le même que celui de la rotation initiale autour de Oz; si l < 0, on a cos a — cos < ; par conséquent , (j>' et n sont de signes contraires.

Le mouvement de la droite OA ou du plan zfiA. autour de la verticale Oz^ est le mouvement de précession (n° 288). On voit donc que le mouvement de précession est de même sens que le tnouvement initial de rotation autour de Vaxe de figure^ ou de sens contraire, suivant que le centre de gravité du corps est au-dessus ou au-dessous du point fixe à Vorigine du fnouvement.

292. Si l'on élimine <p' entre les deux dernières équations (9), il vient :

,„ 2MqI , ^, C2n« (cos a — CCS 9)2

6" = — r^ (COS a — CCS 0)

A* sin2

d'où l'on tire :

dQ l. f j C«nMcosa — COS0)

== i -y (ces a ~ COS 0) 2MK91 ^r^^ 1

Le second membre ayant le signe ± il s'ensuit que l'angle 6 peut croître ou décroître lorsque t augmente.

Si nous supposons f > 0, on aura cos a — cos > 0, d'où > a ; par conséquent, commence par croître, et l'on a d0 > ; il faudra prendre le radical avec le signe + , jusqu'à ce que prenne une valeur p telle que le radical soit nul.

Par conséquent, l'angle croît jusqu'à la valeur pour laquelle on a :

2MAgl sin* — C^n^ (cos a — cos 0) = 0.

Il est évident qu'il existe une valeur de satisfaisant à cotte équation, puisque le premier membre est positif pour = «, et négatif pour — tt. Désignons par T le temps employé pour atteindre cette valeur = ^. A partir de l'instant où = |3, l'angle diminue ; car, s'il continuait à croître, 0' deviendrait imaginaire*: en effet, cos a — cos resterait positif, et le second facteur serait négatif. Or, diminuant, 0' devient négatif, et l'on devra prendre le signe — devant le radical ; décroît en se rapprochant de la valeur

initiale a qu'il prendra au bout d'un temps T. Pour 6:«=a, 9' est nul, et change de signe ; l'angle 6 croît encore depuis a jusque fi dans le temps T, et ainsi de suite.

Donc, r angle 9 varie entre sa valeur minimum a. et sa valeur maximum (3. Uaxe de figure Ox exécute des oscillations isochrones dans le plan zOz^ tournant autour de la verticale Oz^, L'amplitude des oscillations est constante. Ce mouvement oscillatoire est le mouvement de nutation.

La durée d'une demi oscillation est donnée par la formule :

> sin ed9

J |/(cos a — cos9) [ 2Ukgl sin* 9 — (cos a — -cos9) C^i* j '

laquelle dépend des intégrales elliptiques.

De la formule :

A(p' sin* 9 = Cn (cos a — cos 9),

on conclut que <p', c'est-à-dire la vitesse angulaire de la trace OA, est une fonction de 9 seulement, et qu'elle varie périodiquement avec 9. D'ailleurs, pour 9 = «, on a <p' = 0, et, en outre, 9' est toujours de même signe que w. Donc, le plan zOz^ tourne autour de la verticale avec une vitesse angulaire tantôt croissante y tantôt décroissante^ mais toujours dans le même sens.

293. Enfin, la vitesse angulaire w du mouvement de rotation est déterminée par la formule :

qui nous donne, dans le cas actuel,

(o2 = e'* -f (p'2 sin» 9 + n^

ou bien :

G}« s= n* -| -^ (ces a — cos 9).

Il résulte de cette formule que w varie périodiquement entre la valeur minimum n qui correspond à = x^ et la valeur maximum qui correspond à 9 = p.

Gyroscope de Foucault.

294. Le gyroscope est un solide de révolution pesant et homogène animé d'une grande vitesse autour de son axe de figiire, et assujetti à tourner autour d'un point fixe pris sur cet axe. Nous aurons donc (n^ 292) l'équation :

A2 ( — I sin^ 9 = 2UAgl sin» 9 (cos a - cos 9) — C«?i« (cosa — cos 9 )« .

Le premier membre de cette équation étant toujours positif, il doit en être de même du second membre; donc , le second terme — C^n^ (cos a — cos 9)* , qui est négatif, doit être moindre en valeur absolue que le premier terme qui est nécessairement positif. Comme n* est très grand, il en résulte que le coefl3cient

(cos a — cos 6)^ doit être très petit, et, par conséquent, que a et 6 diffèrent très peu l'un de l'autre. Nous pourrons donc poser :

£ étant une quantité très petite en valeur absolue, positive ou négative suivant que l sera positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que le centre de gravité sera au-dessus ou au-dessous du point fixe (n^ 288) au commencement du mouvement ; cette quantité e étant très petite, nous pourrons en négliger le carré et les puissances supérieures.

Nous aurons ainsi :

cos a — cos G = e sin a, sin = sin a + £ cos a, sin* = sin* a + 2j sin a cos a ;

d'ailleurs, on a rigoureusement : .

dB dz It'^ di'

et il vient, par conséquent :

A* (-^ J sin* a + 2Â.h l-^) sin a cos a

== 2MAgh sin a (sin* a + 2c sin a cos a) — C*n*£* sin^ a.

Nous négligerons dans le premier membre le produit t ( -^) qui est du troisième ordre, et dans le second

membre le terme 4ilAgh^ sin'^ a cos « qui est du second ordre ; mais, nous conserverons dans le second membre le terme C'^n^e* sin* a qui n'est pas négligeable à cause 4u facteur n^ qui est très grand. Nous aurons alors :

te) ^^

sin* a = £ sin a j 2MAgl sin^ a — C^n* £ sin a { ,

OU bien :

A« Iriy ^ t \ 2MAgl sin a — CW.- j .

Or, le premier membre étant toujours positif, il doit en être de même du second membre ; il en résulte que

s ne peut varier qu entre et — p-â Cette dernière

valeur qui est donc le maximum de s est la limite de la nutation de l'axe ; nous la désignerons par ^i, et nous poserons :

2MAgl sin a

Il vient alors :

En raisonnant comme nous l'avons fait précédemment (n** 292), on verra que, si nous supposons / > 0, e commence par croître, et l'on devra prendre le radical avec le signe +, jusqu'à ce que e prenne la valeur Sj ; à partir de cette valeur, e décroît jusque zéro, et l'on doit donner au radical le signe — .

En prenant le radical avec le sif,nio +, on a :

A cil

dt=^

Cn|/e(,^,)

<l'où, en intégrant,

/ = 7—- arc cos

Qn e.

la constante étant nulle, puisque e = 0, pour ^ « 0.

Cette formule donne le temps écoulé correspondant à un écart égal as. On en tire :

e, /, Cnt\ . ^nt 2MA(7/sina Cn^ E==^-(l-cos— )«=s,sm-g-- C^ïï^— ^^" 2Â-

C'est la valeur de £ en fonction de t ; par suite, on a :

On conclut de ce qui précède que Xaxe ép^-ouve une nulation déterminée par l'équation :

. ,Cn/

Ce mouvement est oscillatoire, et l'on voit que la durée d'une oscillation complète de l'axe autour de la verticale

<}z, est %- ; en effet, pour ^ =- ^ . on a e = e^ , et pour

f^zH^, on a : e = 0. L'amplitude de l'excursion totale Cn

est £,, et la durée de cette excui-sion, c'est-à-dire la

demi oscillation complète, est r; — Ainsi donCj Fincli-

\./it

naison 6 de l'axe Oz sur la verticale 0^, varie entre sa valeur initiale a et la valeur a + e^, valeur plus grande que «, puisque Sj > 0, si l'on suppose l > 0. Il est encore facile de vérifier que, si t augmente

1 2TrA . . , . Ont

de TT-' e reprend la même valeur, puisqu alors -^

augmente de tt.

295. Cherchons maintenant la loi du mouvement fie prècession : elle est donnée pi»r la formule :

A -jj sin- == Cn (ces a — ces 0),

<\o laquelle on tire :

d'p Cntsmy. Cne