CHAPITRE III
'. Théorèmes généraux de la Dynamique
du point. ' ■
Théorème des quantités de mouvement.
17. On appelle quantité de mouvement d'un point matériel de masse m^ animé d'une vitesse ^, le proc^uit mv de la masse par la vitesse (I, n*" 202). On peut assimiler ce* produit à une force, en attribuant à lai quantité de mouvement la direction de la vitesse Vh On lui donne le signe de la vitesse.
On peut représenter la quantité de mouvement d'un point matériel par une longueur mk. qui lui est proportionnelle , portée sur la tangente à partir du point m dans le sens du mouvement.
La quantité de mouvement étant assimilée à une force, on peut la décomposer comme une force suivant trois axes coordonnés. Chaque composante sera la quantité de mouvement projetée sur l'axe.
On peut aussi prendre le moment de la quantité de mouvement par rapport à un axe : c'est le produit de la projection de m A sur un plan perpendiculaire à Taxe par la plus courte distance de mk à cet axe. On lui donnera le signe -h ou le signe — suivant les conventions adoptées (I, n^ 234).
18. 'Dans le mouvement rectiligne d'un point matériel de masse m, soumis à l'action d'une force P, on a :
dv ^ '""Tt-^^
mdv = FdL
En intégrant entre les limites et ^, et désignant par Vq la vitesse du mobile pour ^ = 0, on a :
V — thVq -= fpdt.
Le produit Fdt est ce que Ton appelle Vimpulsion
élémentaire do la force P ; l'intégrale / Fdi s'appelle
Vimpulsion totale de la force pendant le temps auquel l'intégrale se rapporte.
On voit que l'impulsion d'une force est une quantité composée de l'intensité de la force et du temps de son action.
19. Les deux dernières équations nous donnent donc fes deux théorèmes suivants :
Théorème L — Dans un mouvement rectiligney V accroissement élémentaire de la quantité de mouvement du mobile pendant Vintervalle de temps dt, est égal à Vimpulsion élémentaire de la force V pendant ce temps.
Théorème IL — Dans un mouve^iwnt rectiligne, V accroissement total de la quantité de mouvement pendant un temps fini quelconque t, est égal à Vimpulsion totale de la force P pendant ce temps,
20. Dans le cas d'un mouvement curviligne,^ on a, en désignant par T la composante tangentielle de la force :
d'où :
et, en intégrant,
— 771Vq «= fTdt.
mv
On en conclut le théorème suivant :
Théorème. — Dans un mouvement curviligne, V accroissement de la quantité de mouvement dCun poini matériel pendant un temps quelconque infiniment petit ou fini^ est égal à Vimpulsion de la force tangentielle pendant ce temps.
21. Remarque I. — Si la force P est la résultîinto de plusieurs forces agissant sur le point m, la composante tangentielle de P est égale à la somme algébrique des composantes tangentielles des forces appliquées au point m. On a alors le théorème suivant :
Théorème. — Dans un 9nouvement curviligns^ Vacc7*oissement de la quantité de tnouvement d'un point matériel pendant un temps quelconque est égal à la somme des impulsions élémentaires tangentielles de toutes les forces qui agissent sur le point matériel pendant ce temps.
22. Remarque IL — Le théorème des quantités de mouvement peut être appliqué au mouvement projeté sur une droite fixe.
Considérons, en effet, le mouvement projeté sur l'axe des â?, par exemple ; nous aurons l'équation :
on en tire :
mdVx = Xdt,
d'où, en intégrant,
?a? — • m{t?-r)o =^fxdL
Or, l'axe des a? étant une droite quelconque, on en conclut le théorème suivant :
Théorème, -r-^ L'accroissement pendant un intervalle de temps infiniment petit ou fini de la quantité de mouvement projetée, sur un axe fixe est égal à Vimpulsion de la force projeté^ pendant ce temps..
Théorème des moinents des quantités de mouvement.
23.. Reprenons les équations du mouvement d'un point matériel libre :
Multipliant la première par y, la seconde par x^^ et retranchant, il vient :
Or, le second membre de cette équation n'est autre, que la dérivée par rapport à t de Texpression :
/ dy dx\
on a donc :
