Lorsqu^uii point pesant se meut sur une courbe
donnée AMA', la seule force qui le sollicite est la pesanteur, dont Tintensité constante est désignée par g. Le travail de cette force est mgZj et le principe des forces vives donne immédiatement
*^ supposant que i^ =z k pour z = OH = h.
Supposons k =■ o, c*est-à-dirc que le mobile parte du P^iot A sans vitesse acquise, ré({uaiion deviendra
Si le mobile est en M, on aura
HP=rz — /<, p'=2^HP:
<lonc la vitesse acquise par le mobile au point M sera la ''^èine que s'il était tombé librement de la hauteur HP.
Si B est le point le plus bas de la courbe, le mobile *^ra la plus grande vitesse en ce point. Parvenu là, il ^titinuera sa route en vertu de la vitesse acquise, et
aoa COURS db mécanique.
s^élevant sur la partie BC avec un vitesse décroissante, comme le montre la formule (2), il s^arrètera au point A', pour lequel z = h. Mais aussitôt, sollicité par la pesanteur, il descendra de nouveau sur la courbe pour iPeyenir au point A, et ainsi de suite ^ c'est-à-dire qu'il parcourra continuellement le même arc ABA', tantA dans un sens, tantôt dans un autre.
278. Le temps employé par le mobile pour parcourir Tare AM est le même, soit qu'il descende, soit qu'il monte, car si Ton considère un élément rectiligne ds de cet arc, comme la vitesse du mobile est la même en valeur absolue, quand il est placé à la même hauteur, le temps employé pour parcourir le petit plan incliué ds sera aussi le môme, soit que le mobile descende, soit qu'il monte.
CAS ou LE MOBILE A U:«E VITESSE IMTIAl^E.
279. Si au point A, pour lequel 2 = A, le mobile a une vitesse /r, on a
(l) v^ - k' -^-o.^iz — h).
La vitesse du mobile va en croissant avec z et est la plus grande possible au point B. Le mobile se meut ensuite sur l'arc BCO et s'y élève plus haut que le point A'.
Prenons pour origine des coordonnées le point O le |>lus élevé de la courbe, ^^ous aurons trois cas a examiner.
Premier cas : k* <^agh, — Dans ce cas la vitesse dn mobile au point A est moindre que celle qu*il acquerrait en tombant verticalement de la hauteur OH == /i. Le mobile s'élèvera jusqu'à un point C plus haut que A' et qui sera déterminé par l'équation
VIlfGT-DEOXikME LEÇON. 203
iraleur positive. EIn ce point C la vitesse sera nulle; le joaobile s*arrètera pour revenir sur l'arc CBC jusqu'au point C situé à la même hauteur. que C. De C il reviendra en C, et ainsi de suite; de sorte qu'il fera une infinité d'oscillations isoclirones.
Deuxième ans : k > \[^gh, — La vitesse du mobile ne sera jamais nulle, car on aura
équation dont le second membre est composé de deux quantités positives. Le mobile reviendra au point O avec
la vitesse ^À* — a gh^ dépassera ce point et parcourra la courbe une infinité de fois, toujours dans le même sens.
Troisième cas : h ^:^ ^Jigli. — On aura ^ = o pour •^ :=? o ; le mobile ne s'arrêtera qu'au point O, mais il lui faudra un temps infini pour arriver à ce point. En effet, ^1 désignant par s l'arc ON, on a
as
^ étant Tangle que la normale au point N fait avec la verticale et p le rayon de courbure en ce point, on a
(Is cosv
(is p
Soii a une
constante,
telle que COSV
^^ aura
* ou
dx I ds a
dz ds
304 COURS DE MÉGAIïIQUK.
Par conséquent Tëquation (a) donne rinëgalité
d'où, en intégrant,
OU enfin «
d'où Ton conclut que t augmente indéfiniment quand 5 tend vers z(to.
