Considérons en particulier le cas de trois forces
X, Y, Z, représentées par les trois côtés contigus AB, AC, AD du parallélipipëde ABCDG. Il résulte de la construction précédente que la résultante R de ces trois forces est représentée par la diagonale AG de ce parallélipipëde.
16. Béciproquement, on peut toujours décomposer une force R, dirigée suivant AG, et appliquée au point A, en trois autres dirigées suivant trois droites quelconques Ax, Ajr^ Az partant du point A et non situées dans un même plan; car, si Ton mène par le point G trois plans parallèles aux plans oy, xz^jrzj on formera un parallélipipëde, et AG = R sera la résultante des trois forces X, T, Z, représentées par les arêtes AB, AC, AD.
PEBMikRE LEÇOir.
RELATIONS ENTRE UNE FORCE ET SES COMPOSANTES SUIVANT TROIS AXES RECTANGULAIRES.
47. Dans le cas où les composantes sont perpendiculaires entre elles, les lignes AB, AC, AD sont les projections orthogonales de AG sur les trois axes Ax, A^, Kz : donc si Ton désigne par a, &, c les angles que la résultante fait avec les axes, on aura
(i) X=:Rcostf, T = Rcos^y Z=Rco8c.
Ces relations font connaître immédiatement les composantes X, Y, Z, quand R, a, &, c sont connus. Si, au contraire, les forces X, Y, Z sont données, on pourra en déduire R, a, &, c. En effet, en élevant au carré les équations (i) et les ajoutant, on aura
à cause de
cos?a 4- cos'^ H- cos'c = i«
Il en résulte
(2) R = v^X^ 4- Y' -f- ZS
et, par suite,
cosa
cos^ =
cosc =
V/XM-Y^ Y
\/X='-hY='4-Z= Z
18. Les formules (i) sont générales, pourvu que, regardant comme positives les forces qui tirent le point A dans le sens des coordonnées positives, et par suite comme négatives celles qui tirent dans le sens contraire, on prenne pour a, i, c les angles que fait la direction de la résultante avec les parties positives des axes Kx^ Ajj Az.
8 COUKS DE MËCillIQTJE
Pour s'en coQvaiDCre, il suffit d'
par exemple, le cas où X et Y étaot positives, Z serait négative. On voit, en conitruisBDt le parallëlipipède ABCD, que Is résultante R fait avec Ax et Kj des angles aigus et avec A< aa angle obtus; on a donc
«»i>-o, co»c<o,
X = Ecosa, T = acosi, et
— Z=Rcos(ir — e).
Mais cetie dernière ^alité revient k Z = R cosc.
Ainsi les formules (i) sont encore applicables dans ce cas.
cl il vient
DEUXIÈME LEÇOlff. 9
DEUXIÈME LEÇON
SUITE DE LA œMPOSlTION DES FORCES œNCOURANTES.
Calcul de la rétulunte d'un nombre quelconque de forces appliquées en un même point. •— Conditions d^équilibre de plusieurs forces ooncoa* rantes. — Équilibre d'un point assujetti à demeurer sur une surface, — sur une courbe.
CALCUL DE LA EÉSULTANTE d'uN SOMBRE QUELCOIfQUE DE FORCES APPLIQUÉES EN UN MÊME POINT.
19. On ramène au cas de trois forces rectangulaires la composition d'im nombre quelconque de forces appliquées en un même point A.
En effets menons par ce point trois axes rectangulaires quelconques Âx, A/, Az. Soient a, |3, 7; a', |S'^ yS • • •« les angles que les directions des forces P, P'> P^^, • . . font avec les axes Ax, kj, Az.
Si Ton décompose la force P en trois autres dirigées suivant les axes, ces composantes seront représentées, quant à la grandeur et au signe, par
t Pcosa, Pco$p, Pcos7.
Des expressions analogues représenteront les composantes des forces P', P'^, .... En désignant par X, Y, Z les résultantes des forces dirigées suivant les axes, on aura
IX= P cosa -+- P' cosa'-l- P*' cosa*' -{- . . . , Y=r PCOSP -4- P'cOSp'-h P''C0Sp*'-f.. . ., Z = P cos 7 -h P' cos 7' -f- P*' ces 7" 4-
La question est donc ramenée à la composition de trois forces appliquées à angle droit en un même point. Eu appelant R la grandeur de la résultante^ et a, £, c les
lO COTJAS DE MÉCANIQUE.
aogies qu'elle fait avec lés axes, on aura (17)
casfl=— > cos6= — 1 cosc=— •• R R R
20. L'intensité de la résultante ne dépend pas du choix des axes ou des angles a, |3, y ; a^, |3', y', ... : il doit donc être possible de Texprimer indépendamment de ces quantités.
En effet, élevons an carré les équations (i) et ajoutons-les. En observant que l'on a
cos*a -+- cos'p -f- cos'7 = i.
cos*a'-f-cos'P'-f- cos*7'= ï
il viendra
R» = P>-+.p'«-hP'"4-...
-f- aPP* (cosa cosa' -h cosf cos^' -4- cosy ces/ ) ^- . . ..
Mais si Ton désigne par (P, P') Tangle que font entre elles les directions des forces P et P', on a
COSC COSflt' -f- COSP COSP' -+• COS7 COS7' = cos(P, P').
Par conséquent, on a
^ ^ ( -|-aPP'co$(P, P') + 2PP"cos(P, P^'JH ,
formule où la grandeur de la résultante est exprimée en
fonction des intensités des forces et des angles qu'elles font entre elles.
Si Ton considère R, P, P', . • • comme les côtés d'un polygone, cette équation donnera la valeur d'un côté en fonction des autres côtés et des angles que ces côtés font entre eux. Il en résulte ce théorème : Le ca/ré (Tun côté d'un polygone est égal à la somme des carrés des autres côtés, plus deux fois la somme des produits de ces der^
DEUXIÈME LEÇON. II
mers côtés pris deux à deux et multipliés par le cosinus de r angle qilils forment.
21. Au lieu de décomposer, comme nous venons de le faire, la force P en irois forces dirigées suivant les trois axes Ajt, Aj^, Az, on peut la décomposer en deux forces agissant. Tune suivant Ax, et Tautre dans un plan zKy perpendiculaire à Ax. La composante suivant Kx est représentée en grandeur et en signe par Pcosa. On dit alors que P cosa représente la force P estimée suivant la direction Ax. Sous ce point de vue, les équations (i) donnent lieu au théorème suivant :
La résultante de plusieurs forces, estimée suivant un axe quelconque, est égale à la somme de ces forces esti^ mées suivant le même axe.
CONDITIONS d'équilibre DE PLUSIEURS FORCES
