CONCOURANTES
22. Pour que plusieurs forces appliquées k un même point se fassent équilibre, il faut que leur résultante soit nulle. Or, en conservant les mêmes notations que dans la question précédente, on a
On devra donc avoir
X = o, Y = o, Z = o, c'est-à-dire
IPeosa-f-P'cosa'-f-P"cos«''-f-. . . =0, Pcosp 4- P' co$p' -*- P'' cosp" -4- . . . = o, P COS7 -j- P' COS7' -^ P" COS7'' -f- . . . — o,
et réciproquement, si ces conditions sont remplies, il j aura équilibre, puisque la résultante sera nulle.
23. Il est aisé de vérifier que, si ces conditions sont remplies, Tune quelconque des forces sera égale et opposée à la résultante de toutes les autres.
la COURS DE MÉCAIVIQUE.
En effet, désignons par R' la résultante des forces P^ P'', P"',. . ., et para', 6', c' les angles que cette résultante fait avec les axes ; nous aurons
IR' cosfl' = P' cosa' -h P'' cosa*' -h . . . , R' cos*' = P'cosp' -f- P*" cosp" -f- . . ., R' cosc' = P' C0S7' -f- P" cos7*'-4-
La comparaison de ces équations el des équations (1)
donne
IP cosa = — R'cosa', Pcosp = — R'cospS P COS7 = — R' C0S7';
d'où Ton tire, en élevant au carré et ajoutant membre à
membre,
P> = R'* ou P = R', et, par suite,
cosa = — cosa\ cos p = — cos b', cosy = — cosc', ou bien
a = TT — a', p = îr — ^', 7 = ir — c' :
d'où Ton conclut que la force P est bien égale et directement opposée à la résultante R' des forces P', P'', P'*^,. . . .
ÉQUILIBRE DVH POIIÏT ASSUJETTI A SE MOUVOIR
SUR UISE SURFACE.
34. Nous avons supposé jusqu'à présent que le point Â, à part l'action des forces P, P^ P^, . . . , était parfaitement libre dans l'espace. Les conditions d'équilibre ne seraient plus les mêmes si le point était assujetti à demeurer sur une surface ou sur une courbe donnée.
Dans le premier cas, si le point A est sollicité par une force R normale à la surface considérée; il devra être en repos. Car il ne pourrait commencer à s'éloigner de sa position que sui-
DEUXIÈME LEÇOn. l3
Yanl la direction d'une des tangentes à la surface au point A, et comme toutes les tangentes font un angle droit avec la direction AN de la force, il n'y a pas de raison pour que le mouvement naisse dans un sens plutôt que dans an autre; donc le point A restera en repos.
Au contraire, si le point A est sollicite par une force S, dont la direction ne soit pas normale à la surface, il ne restera pas en équilibre. En effet, on peut décomposer la force S en deux autres, l'une dirigée suivant la normale AN à la surface, l'autre suivant Tune des tangentes AT à cette surface, savoir celle qui est à l'intersection du plan tangent et du plan SAN. La première force ne fera que presser le point sur la surface; mais la seconde aura tout son effet, et dès lors le point A glissera sur la surface.
Ainsi, la condition nécessaire et suffisante pour quLun point A, placé sur une surface et sollicité par des forces quelconques P, P', P", . . . , reste en équilibre, est que ces forces aient une résultante R normale à la surface.
25. Pour exprimer cette condition par l'analyse, prenons trois axes rectangulaires quelconques Oar, O/, Oz. Appelons a, /3, 7; a', ^', 7';.. ., les angles que font les forces P, P', P", . . . avec les axes. Il y aura équilibre si nous introduisons une force N égale et directement opposée à R. Donc si X,
fi, V désignent les angles que la force N (dirigée suivant AI
ou AF) fait avec les axes, nous aurons
IN cos X -h P cosa -h P' cosa' -f- . . . = o, Ncosfi-*-Pcosp -f-P'cosp'-l-.. . = 0, N cos V -*- P COS7 -I- P' C0S7' -}-... = o.
Ces trois équations peuvent être mises sous une forme
l4 COURS DE MÉCÂiriQUE.
plus simple. En effets soit réauation de la surface ^ on aura
dx
cosX =
vm- (I)'- (!)■
U faut laisser le double signe, parce qne la force inconnne N peat drer de A vers I on de A vers I^ Si Ton pose, pour abr^r.
V=db
on a
(4) cos>
vm-i^hm'
^4f ^àf
cos» = V -f-' dz
dx' •" dy
De plus, si X, Y, Z désignent les sommes algébriques
des forces P, P', P'^,*.., estimées suivant les axes Ox, O^,
Oz. on a
X = P cos« -f- P' cosa' -4- . . . ,
T = Pcosp-4-P'cosp'-f ...,
Z =:Fcos7-f-P'cos7' -f-....
Les équations (i) deviennent donc
NV -=^ -♦- X = o, dx
NV ^ -f- Y = o,
NV^4-Z = o.
dz
Comme N est une inconnue auxiliaire, on trouvera les conditions d*équilibre cherchées en éliminant N ou NV entre ces équations, ce qui donne
dx dy dz
DEUXIÈME LEÇÇH* l5
On énonce ce résultat en disant que les sommes des forces estimées suivant trois axes doivent être propor^ tionnelles respectii^ement aux dérivées partielles du pre^ mier membre de V équation de la surface, rapportées au point d^ application.
26. Si les équations (6) sont vérifiées, il y aura équilibre, et il sera facile de connaître le sens suivant lequel agit la résultante des forces P, P^ P^, . • . , car on a
dx dx ds
ce qui montre que Y est de signe contraire à Tun quelconque de ces quotients. Quant à N, qui est la pression exercée sur la surface par les forces données, elle sera représentée par Tun des trois quotients
dx dx d%
27. Les deux équations de condition, trouvées plus haut, auraient pu être établies plus rapidement, en observant que les cosinus des angles que fait la résultante des forces P, P', P^, . . . avec les axes sont proportionnels à
et que les cosinus des angles que fait la normale AN avec les mêmes axes sont proportionnels à
!^, 'Jl, ^. dx djr dz
On exprimera que ces deux directions coïncident, en écrivant que leurs cosinus sont proportionnels, c^est*à-dire que
dx
dx
dz
l6 COURS DE MÉCANIQUE.
28. Si, donnant seulement les directions et les inten* sites des forces P, P^, P'^ . . . , on ne fixait pas la position du point A sur la surface, il faudrait joindre, aux deux équations d'équilibre, l'équation de la surface
ce qui déterminerait complètement les coordonnées du point A.
ÉQUILIBRE d'un POINT ASSUJETTI À DEMEURER
