bx-^xi
*^^ posant
* x^dx
^bx — j?*
ai 4 COURS DE MÉGANIQDB.
on pourra écrire
T^./f ^ ^iA.^ i^A,^ i^^A.^ \
290. On sait, par la théorie des intégrales binômes, que toutes les intégrales définies Ai, A|,..., se ramènent à Ao' Cette réduction peut se faire directement de la manière suivante. On a
d,a^-^\^bx — jc^=i[n — \)a^-^dxslbx — x''\-
2^bx — jr*
(2/1 — 1) bx*^^ fix — ^nx^dx 1 ^bx — X*
donc
• /-; / » t -^ ' dx x^dx
a.aa:*~' ^bx — x^^zi^nn — \)b — un ■ ~
^ bx — x^ d*où, en intégrant entre les limites o et 6,
V^x — or»
0= (2/1 — i)^ A«, — 2/iAj,,
donc
An —" A^^x»
On aura de même
Ait— I — — , 77~ "«—s» A<|«7 ■ , ^^ — Aj|i^, • • • y
2(/l-lJ
et par suite
II sufBt donc de déterminer Ao ou
r^ dx
Ja Jbx — X*
• Or
/dx kJbx —
YIirGT-TIlOISlkHE LEÇON. Al 5
OU
sj bx — x^
b — ax arc co$ — 7—- 9 o
donc on aura
* dx
y' bx — X* Par conséquent
At = 7r, A| = — ^w, Aj = — 7^^> Aj = 7— ^©'ir,...,
et par suite
Telle est la formule qui donne la durée d'une oscillation pour une amplitude quelconque.
291. Quand Tamplitude est très-petite, J = i — cosa peut être négligé, et l'on retrouve la formule approchée
=Vi
Si, remplaçant 6 par i — cosa ou 1 ^-7 4-...,
on négligeait dans Texpression les puissances de a supérieures à la seconde, on trouverait
Ainsi la durée de Toscillatiou dépend de l'amplitude et augmente avec cette quantité.
PENDULE CYCLOÏDAL.
2S)2. Considérons le mouvement d'un point pesant sur une cyloïde CBC renversée, située dans un plan vertical et dont Taxe BD est vertical. .
ai6 corns de hécàmique.
PrenoDs pour axes de coordonnées l'axe Bx et la tangente B/ au sommet B. Soit A le point de départ du mobile
où nous supposerons sa vitesse Dullef et soit M{Xf jr) sa position à une époque quelconque t.
^' Soit a le diamètre BD du cercle générateur. Les composantes de la force accélératrice étant
Féquation générale du mouvement
(l) d*f^z= — igdx^
d*où
Si BH = A, on doit avoir i' = o pour x = hj d'où o = C — lÀgh : donc
Soit maintenant BM = 5, on a 5*= 4^^^ = 2&x en appelant b le rayon de courbure BK = aBD de la cydoïde au point B. Il en résulte
s = ^7,bx et
ds=. ^n
Comme dans la première oscillation ^ = — ^r on en déduit, à cause de v = ^2 g (h — x),
a V g uhx^
VIIfGT-TROISifcMB LEÇON. QIJ
Intégrant et déterminant la constante par la condition que l'on ait à la fois f = o et a: = A, il vient
- arc cos
(4) ' = ïV.— " k
293. Le temps que le mobile emploie à descendre de A en B s'obtient en faisant j: = o dans cette formule. En appelant T la durée d'une oscillation, on aura
- T = - I / - arc cos ( — i) ,
On obtiendrait encore ce résultat en faisant x-=^h dans la formule (4) et en prenant ir^ pour arc cos (i).
Ainsi, dans la cycloïde, la durée des oscillations est rigoureusement indépendante de leur amplitude, et différents mobiles, partis au même instant, sans vitesse initialcf de divers points de cette courbe, atteindraient au même instant le point le plus bas. Le temps d'une oscillation est ^ i/-î c'est la 'durée des oscillations très-petites du pendule simple dont la longueur est &, rayon de courbure de la cycloïde au point B, ce qui s'accorde avec cequon a dit des petites oscillations d'un point pesant sur une courbe quelconque.
294. On pourrait imaginer un pendule dans lequel les oscillations s'effectueraient toujours dans le même temps, iQalgré l'inégalité de leurs amplitudes. Construisons la développée de la cycloïde, composée des deux moitiés l^C et KC d'une cycloïde égale à la première. Supposons qu'un point pesant soit attaché à l'extrémité d'un fil ué par son autre extrémité au point K. Si le mobile, dans ^e de ses positions, se trouve sur la cyloïde CBC, comme 'efil, abandonné à lui- môme, restera toujours tangent à
ai 8 COURS DE MÉCANIQUE.
CKCS soQ extrémité M décrira la cycloïde CBC'. Toutes les oscillations devront s'effectuer dans un même temps
égal à TT iy -^ mais ce moyen, proposé par Huyghens, a
été abandonné, parce qu'il n'offre aucime précision dans la pratique.
TÂUTOCIIBOKE.
