On appelle lautochrone toute ligne courbe sur
laquelle un point pesant abandonne sans vitesse initiale
d'un point quelconque de cette
courbe parvient dans le même
'i^ -"^ temps au point le plus bas. La
cycloïde est donc une courbe tautocbrone (293). Nous allons faire voir que c*est la seule courbe tautocbrone dans le vide.
Si Ton appelle t' le temps nécessaire pour décrire AB,
on a
/»* iis
(l) t'\/2g-= I '-;^:^=dXy
et il s'agit de déterminer s en fonction de x, de manière
que la valeur de t* ^2 g" soit indépendante de h.
Supposons 5 développée en série suivant les puissances ascendantes de x :
(2) s = A x" -4- Bx^ -h Cx^ H- . . . .
Comme 5 et x ont leur origine au point B, et qu'on a 5 = 0 pour j: = o, il faut que tous les exposants soient positifs et qu'aucun ne soit o. Le plus petit a doit être
moindre que l'imité; car en B on a — = o ^^ ^ = °^ ' Substituant la valeur de s dans (i), on aura
TINGT-TROISIEME LEÇON. ftlp
et, en faisant x = huj
Jo V/i-« 13)
Cette quantité doit être indépendante de A : il faut donc
que le plus petit exposant de A ou a soit nul, puis-
que s'il était positif on aurait T = o pour A = o, et s*il était négatif on aurait T = oo pour la même hypothèse. Les autres termes doivent disparaître; donc
et par suite
OQ
L'équation s = A^x appartient à une cycloïde. Donc U cycloïde est la seule courbe tautochrone dans le vide
29S. Autrement, si dans 1 équation (i)
* ds
, r^ ds
on pose
on aura
COURS DE MéCANIQtJB.
Cette expression devra être indépendante de h. Posooi X =. hu^ il en résulte
' ff'[hu)(huy'-^du
__/•%' {fin ] hflu r ' y'(/<M)(Att)'— <
ou bien
'KA-^rr:
ii'-«(i — «)■
en posant
Donc
Or --TT doit èire nul . II faut donc que ^'(hu) ou ^'{x) =^ o;
car autrement on pourrait prendre h assez petit pour que de x=o k x = /i, ^'(.r) fût toujours de même signe, et alors Tintégrale, ayant tous ses éléments de même signe> ne serait pas nulle. On a donc
d'où
Donc
ou
i^'(x)=:0 ou 4'(*) = C,
y(jr) = x= aC^Jp
szîz ^^aXf
équation d'une cycloïde.
TIVGT-TllOISTÈME LEÇON. 331
peudulb dans un milieu RÉSISTÀKT.
207. En désignant par R la résistance du milieu, Te- <|uatiou du mouvement sera
Comme il s^agit de petites vitesses, nous supposerons la résistance proportionnelle à la vitesse, et nous poserons
k k dt*
On a 5 = a (a — 6) : donc
k di
' En remplaçant dans Téquation (i) -— par — ^;r7'
nn6 par 0 el R par la valeur précédente, on aura à intégrer Téquation du second ordre
' €Ù* k di a
On a une solution paiticulière de cette équation eu prenant
/" étant une racine de Téquaiion
(3) r'-f-Tr4-^— o.
On a donc
«0, enpo8ant7=y/i-^
aast COURS de mécanique.
La solution générale de Téqualion (2) sera donc
=:[ccos(/yy/f)4-c'sin(/yY/f)]. »^
dt
On déterminera c et c' par les conditions 9 = a, -— = o,
pour f = o, d ou c = a, c= — ; — et r » '2X7
^=-Vf('-ï^)-'"('Vf)''"-
 la iin de chaque oscillation, --- = o, ce qui donne
dt
et
TT /a = 7Vi'
Les oscillations sont isochrones comme dans le vide, et leur durée est augmentée dans le rapport de x à y. Faisant l = nT, on a Tamplitude de la n'*"" oscillation,
donc les amplitudes successives forment une progression
— ÎLHÊ géométrique décroissante dont la raison est p-=e ^y^ .
298. Lorsque le mouvement a lieu sur une cycloïde, toutes les oscillations se fout rigoureusement dans le même temps, en sorte que cette courbe est encore tautochrone dans un milieu qui résiste proportionnellement i la vitesse.
VINGT-TROISIÈMF LEÇON. ftaS
En effet Inéquation du mouvement
dç d.r gv
, . , ds dx $
devient, en remplaçant v par — 5; ®^ 7" P*'^ ■"'
du . ^ "^^ ^g ,^
dr k di a
Cette équation, analogue â Téquation (2) obtenue approximativement au n^ 297, donnera pour T une valeur indépendante de 5«
aa4
COURS DE MéCAlVIÇUtf.
VINGT-QUATRIÈME LEÇON
