FORCES CENTRALES. PRIKCIPK DES AIRES
Fig. 101.
Soit M un point mobile sollicité à chaque instant
par une force dont la direc* tion passe constamment par un même point O. Lescom* posantes de la force accélé* ratrice, par rapport k trois axes rectangulaires menés par le point O, seront proportionnelles aux coordonnées du point M. On anra donc
OU bien
di'
xd^
yd^
dt
zd^
Tr/'
dt
yd^
zd^
dt
équations dont chacune est une conséquence des àtm.
TIKGT QVÂTBikME LEÇON. ai5
autres. En les intégrant et désignant par c, c\ c" trois constantes arbitraires, on aura
Ixdx — ydxzrz cdt^ zdx — xdz z=z cdtf ydz — zdf ^=z c^ dt.
Les constantes c, c\ c" se détermineront quand on connaîtra la position initiale et la vitesse initiale du mobile, en grandeur et en direction, cVst-à-dire les valeurs ini- . , - dx dy dz
ualesdex,jr,z, -,-,-.
300. Si Ton ajoute les équations après les avoir respectivement multipliées par z^jr^ Xy on a
(3) or=«-+-e'j-f-c^«,
équation d'un plan passant par Torigine des coordonnées. Ainsi la trajectoire est une courbe plane. En efTet, on voit bien à priori que le point mobile ne doit pas sortir du plm mené par le rayon vecteur initial et par la direction de la vitesse initiale.
Interprétons maintenant les équations (q). SoitOP = r la projection du rayon vecteur OM sur le plan des xy^ et wii POx = 9j on aura
tance =-»
d'où, en différentiant par rapport à ^,
dB xdy — ydx xdy — ydx ces' 0 x^ r' ces* Ô
d'où Ton lire
r^dB =z xdj' — ydx»
Mais si l'on appelle X Taire BOP parcourue par la pro- J^tion du rayon vecteur, pendant le temps f , on a
d\=^r*dQi
aa6 couns de mécanique.
donc
fi\ = '-(xdjr — /^J?) ou d\=z —cdif
d'où l'on lire
Il n'y a pas de constante à ajouter : car A étant la projet'- (îon de Paire pendant le temps t^ on doit avoir X = o pour f = o.
On conclut de là que le secteur engendré par le mouvement de la projection du rayon vecteur sur un plan quelconque est proportionnel au temps. La constante c est le double du secteur parcouru, pendant Tunité de temps, par la projection du rayon vecteur sur le plan des xy. On aura des résultats analogues pour les deux autres axes. On aura donc
(5) \ = ^ci, V = -c'^, \'' = ^e''t,
y et V désignant des quantités qui se définissent de Ism même manière que X. Si l'on projette le rayon vecteiftK~ sur le plan même de la courbe, on en conclut que l'aire engendrée par le rayon vecteur lui-même est propoi*'-* tionnelle au temps.
301 . Réciproquement, si la trajectoire d'un point mo' bile est plane et telle, que les aires engendrées parle rayons vecteur, partant de l'origine des coordonnées, soient prO' portionnelles aux temps, la force motrice passera coni" stamment par l'origine des coordonnées. En effet, dati^ cette hypothèse, le secteur OÂM est proportionnel av temps; par suite il en est de même de sa projection X, iis<' le plan des xy. Donc, en appelant c le double de l'air^ parcourue par la projection du rayon vecteur sur le p1a<^
des (x, jr) pendant l'unité de temps, on a X = -cl. C^^
VlHGT-QUATRlfeME LEÇ09. ^aj
donc
xdy — y (fjo : -■ c fii.
DifTérentiant cette équation par rapport à t, considérée ^ comme variable indépendante, on en déduit
d'x fi\r
on a de même
dr r//»
JC Y
Oo conclut de là que les composantes de la force motrice
parallèles aux axes, savoir : m —-^j m -^- et m -— -, en
appelant ni la masse du point mobile, sont proportionnelles aux coordonnées de son point d'application. Par consé(pient, le parallélipipède dont les coordonnées x, £^ z sont les trois côtés contigus est semblable à celui qui a pour côtés les composantes de la force motrice, d^où il suit que la diagonale du second, suivant laquelle est dirigée la force motrice, coïncide en direction avec la diagonale du premier, qui aboutit en O. Donc la force motrice passera constamment par ce dernier point.
