I-f- 1/ I -cos(Ô — w
On voit que cette courbe est toujours une section conique, car Tëquation générale d'une section conique, rapportée à un foyer et â un axe polaire, faisant un angle o) avec Taxe qui passe par ce foyer; est
rrzr
1 4- tfcos(0 — w)
La courbe est une ellipse, si e<^ i; une parabole, si e =r 1 , et une hyperbole, si e ^ 1 . Par conséquent, en se
rappelant que b est égal à la valeur initiale de — — 1^,
VIMGT-CINQUlèME LEÇON. iSp
on voit que, si à une époque quelconque du mouvement on a
p'-^.—^î la courbe est une ellipse;
:^z= —^y elle est une para!)o!e;
p*^ — î-, elle est une hyperbole.
^iiiai Tespèce de la courbe dépend uniquement de la indeurde la vitesse à l'origine du temps, mais nullenotent de sa direction, en sorte que différents mobiles, l&i:icés successivement du même point de Tespace, avec d^a vitesses égales, mais de directions différentes, parcourraient tous des courbes de même espèce.
CAS ou LA COORBE EST UHE ELLIPSE.
316. En appelant sa le grand axe et e Texcentricité, l^^uation de l'ellipse est
I -h e cos ( ô — w ) I^^lentifiant avec Téquatiou (8) du n^ 315, on a
■^rmules qui déterminent les éléments de Tellipse, en 'Oociîon des données du problème.
3i7. Il reste encore à déterminer t^, r et S en fonction ^^ temps f, afin d& connaître la vitesse et la position du **^^bîle à une époque donnée. On a d'abord (313)
a4o COURS DE MÉCAMIQVB.
d'où, à cause de
dr
on a
dr^-i-r'dQ^ 2a , - = L — ^.
En éliminant ^d entre cette équation et l'équation f^dO = ciit^ il vienl
HZ rdr
dt =
OU
dtz=
^ — ^/' -4- 2f*r — r* rdr
^ — br^ -+- 2^r — c*
m supposant d* abord que r croisse avec t. En remplaçanl i par - et c* par fxa (i — e*j, cctle différentielle peut se mettre sous la forme
rdr
Si AMB est Tellipse parcourue, le mobile est le plus
près du point O, pôle et foyer de l'ellipse, i Textré-
Fig. io5. limité A du grand aie nommé
périhélie de la planète, et il est le plus loin de O, à l'autre extrémité B, qu'on appelle aphélie de la planète. Par conséquent le rayon vecteur r varie de OA=rt(i — e)àOB = a(i-f-e).
Il est donc permis, pour la commodité de Pint^rtlion, d'introduire une variable auxiliaire k, telle que
On en tire
rnra (i — ^ cosii].
dr=zaeÂuudttf
VI?ÏGT-CIMQU1£ME LEÇO^T. ^4^
et réquation (4) devient
rz dt =z[i — e cos u ) du
(S} ndtr=[\ — ecosii)dn^
en posant, pour abréger,
£v^ intégrant, on a Téquation
{7) nt=zu — <rsin».
il n'y a pas de constanie à ajouter, &i Ton compte le temps à partir du moment où la planète est à son périhélie; car alors r=a(i — e), et par conséquent cosu=:i, d'où u z=:z o en même temps que f = o.
318. Pourconstruirerangleauxiliaire//, surBA comme diamètre décrivons une circonférence de cercle. Soient M la position actuelle du mobile et C le centre de Tellipse. Prolongeons l'ordonnée MF jusqu'au point K où elle rencontre la circonférence. Je dis que Tangle KCA = u. £rii effet, on a, en vertu d'une propriété connue des rayons vecteurs de l'ellipse,
''=a— .eXCP=:û--<rXrt cosKCA = a{i — « cosRCA) j
is (8) r = a{i — ecosu),
d^où
cos KCA = cos/i et KCA =: u.
^'^Dgle 11 est appelé Vanomalie excentrique de la pla- ^ète, tandis que l'angle MOA = 6 — «se nomme Vano^ '^^^lie vraie. On pourrait maintenant éliminer ri entre '®a équations (7), (S)*, mais il vaut mieux conserver ces ^eux équations avec la variable auxiliaire u. En donnant
à celte variable toutes les valeurs possibles, on en déduira ensuite les valeurs correspondantes de r et de t.
319. On peut trouver une équation entre Panomalie vraie et ranomalie excentrique. On a
r=a(i — ecosn) = i j-—^ i
^ ' I H-<?cos(ô— w)'
d'où résulte
