PENDULE SIMPLE
f77. Mouvement d'un point pesant sur une courbe. — Lorsqu'un point pesant se meut sur une courbe donnée ÀMA', si le mobile part du point A sans vitesse, la vitesse acquise par le mobile au point M sera la même que s'il était tombé librement de la hauteur HP.
Si B est le point le plus bas de fa courbe, le mobile aura la plus grande vitesse en ce point. Parvenu là, il continuera sa route en vertu de la vitesse acquise, et s élevant sur la partie BC avec une vitesse décroissante, il s'arrêtera au point A', pour lequel s = ^. Mais aussitôt, sollicité par la pesan eur, il descendra de nouveau sur la courbe pour revenir iiu point A , et il parcourra continuellement le même arc ABA', tai.tôt dans un sens, tantôt dans un autre.
278. Le temps employé par le mobile pour parcourir l'arc AM est le même, soit qu'il descende, soit qu'il monte. Les oscillations du mobile sont isochrones.
279. Cas ou le mobile a une vitesse iNrriALE. — Si au point A, pour lequel z = ^, le mobile a une vitesse X-, le mobile s'élève sur Tare BCO plus haut que le point A'.
UgS TABT.K ANALYTigiE
rrenuM> pour uri L:iii(3 lU'> roonlonnri'S le point 0 le plus elt'\éii'. la courbe. Nous aurons trois cas à examiner.
Premier cas: k < v/a^/i. — Le mobile s'élèvera jusqu'à un point C plus haut que A' et qui sera déterminé par réquation
En ce point C la vitesse sera nulle; le mobile s'arrêtera pour revenir sur Tare CBC jusqu'au point G' situé à la môme hauteur que C et il fera une infinité d'oscillations isochrones.
Deuxième cas : k > y/'xgii. — Le mobile reviendra au point
avec la vitesse ^P — 2^/1, dépassera ce point et parcourra la couri une infinité de fois, toujours dans le môme sens.
Troisième cas : k = \/'igfi. — Le mobile ne s'arrêtera qu'a point 0, mais il lui faudra un temps infini pour arriver à ce point
280. Pendule. — Équation du uouvement. — On appelle pen dule un corps solide pesant qui peut osciller autour d'un axe horL
zontal. Un point matériel suspendu l'extrémité d'une tige ou d'un fil i tensible et sans masse et dent Tant extrémité est fixe , forme un simple.
Plaçons l'origine des coordonnées a ~ point de suspension 0 : prenons l'ax.
des z vertical et dirigé dans le de la pesanteur. Soit AOz = a. L'équation du mouvement sera
ael^
dt^"
//' -h 2ga (cos 0 — cos a)
28i. Cas ou l'équation peut s'intégrer. — On peut intégre-' réquation précédente dans le cas où la vitesse du mobile au poict est celle qu'il acquiert en desceudant sans vitesse initiale du point le plus haut du cercle.
L'équation se réduit à
afiB
dt=:^
^Aga{i~i'C06ii)
Onr.
-^tang(j-5)
formiile qui donne le temps que le mobile emploie à parooorir l'arc AM, dans Thypothèse où il serait parti du point C, sans ri* lease iniUale.
Il fiuii un temps infini au mobile pour remonter jusqu'au point €.
%. Cas DBS PETITES OSCILLATIONS. — En supposant nulle la vitesse du mobUe au point A, la formule (280) se réduit à
V s v^cosô — acosa & négligeant la quatrième puissance de 0 et de a, on trouve
arc cos->
. La durée T de la première oscillation est
dl^ est indépendante de son amplitude, pourvu que celle-ci soit ►-- petite.
Les résultats précédents s*étendont aux oscillations d'un Fig. 95. point pesant, écarté très-peu de la
verticale et assujetti à se mouvoir sur une courbe dont le plan oscillateur au ^ point le plus bas B est vertical. La
dux'^ commune de chaque oscillation sera n 4 /^, p étant le rayon ^^ œrcle osculateur au point B.
Fig. 96.
285. Si le pian osculateur de la courbe au point B le plus bas fait un angle / avec le plan horizontal ZV, on aura le temps d'une oscillation par la formule
fr
/ n Y g sin /
^86. Pour apprécier la durée exacte d*une oscillation, on compte *^ nombre n des oscillations pendant un temps t, et l'on a
^S7. La position du mobile et sa vitesse redeviennent les mômes
300 TÀ8LB AHALTTTQUB
après la durée d'une double oecillation. A des intervalles de temps qui diffèrent d*une oscillation, le pendule fait des angles égaux avec la verticale du point de suspension, mais de côtés différents, et ses vitesses, dans ces positions, sont égales et de signes contraires.
VINGT-TROISIÈME LEÇON
SUHB DB LA THÉORIB DU PENDULB SIMPLB*
288. Autre méthode. — Les mêmes notations étant consenécs, on a
:- "h- SmÔ - G,
di
V 5" 1/2 ros
Soient on on déduit
V^irosô — icosa x=i — cosô, ^--1— cosa;
dx
289 à 291 . DÉvBtoppBiiErrr en série.
292, 293. PB.VDULB CTCLOÏDAL. — Soit A le point de départ
mibile où nous supposerons sa vitesse nulle, et soit M (x,/)
DES MATlhnE5* 3oi
position à une époque quelconque /. Soit a le diamètre BD du cercle générateur. En appelant b le rayon de courbure BK = a BD de la cycloïde au point B, on a
I fh 2 .r — // / = - i / - arc C08 ; — >
