CA
d'où Ton tire (2)
L'expression Pr, ouïe produit de la force P multipliée par la distance de son point d'application au plan xOjr, comptée sur une direction parallèle à Qjs, est ce qu'on appelle le moment de la force P par rapport à ce plan et à cette direction. Le plus ordinairement cette direction est perpendiculaire au plan xOy : dans tous les cas, Téquation (a) montre que le moment de la résultante de deux forces parallèles par rapport à un plan est égala la somme des moments de ces forces par rapport à ce plan.
38. De là on conclut aisément que si Ton a un nombre quelconque de forces P, P', P^', . . . parallèles et de même sens, appliquées en des points A, A', A!', . . . situés d'un
sa COnftI DE MÉCAIflQUE.
même c6té du plan xOy, on aura
R éuni la résolunte et <tt '* *\ z", . . . le* distances au
plan xOjTf comptéec ptrallèlement i l'axe des *, des
points d'application des forces.
S9. Considérons maintenant le cas de deux forces P ng, i6. et P' parallèles et de sens con-
traires. Soient A, A' et C les points d'application des deux forces et de lenr r^nltante. Po^
Menons CHH' parallèle à BBf, nous aurons
On déduit de U
P'}=P» — PV.
Hf-lj.
Par consëqneni, /e moment de la résultante de deux forces qui agissèitt en sens contraires est égal à la différence des mometits de ces forces.
40. Enfiuf Gonsidéroos plusieurs forces, dont les uues, P, P', V, tirent dans un sens, et les autres, P'", P", tirent dans le sens opposé.
La composition des forces P, P', P" donnera uue rcsultautc
R, = p4-P'-4-P* appliquée au point D, et l'on
TtOISlfcMB CEÇOir. «3
aura
(i) Ri.DI = Pz -f. V'z'-h Vt".
La composition des forces P^' et P'^ donnera une résultante
appliquée en E, et Ton aura
(a) R,.Ee = F-'s^-f. P-*z»^ .
Donc, si R est la résultante de toutes les forces, G son point d^application, et si Ton pose GK = 2|, on aura, en supposant Rj ^ Rs,
R=: Ri — Ray
R«. = R,.DI = Ra.EH, ou bien
I Rr=p-f.F-^P^— P*— P«^ ^ ^ I Rz,=Pz-f-P'5'-+-F''s«'— P'i-'— P»^««\
41. On voit que ces deux équations rentrent dans les suivantes :
Px 4. P'z'+ P^s"-!- P*'-*'-+- P'^s'%
pourvu que, regardant comme positives les forces qui agissent dans un sens, on regarde comme négatives celles qui agissent dans le sens contraire. A l'aide de cette con* vention, on peut dire, en général, que le moment de la résultante de plusieurs forces parallèles par rapport à un plan est égal à la somme algébrique des moments de ces forces n
42. Nous avons supposé jusqu'à présent que les points d'application des forces étaient situés du même c6té du plan 3^0 y \ mais cette restriction n*est pas nécessaire, et le théorème des moments a toujours lien eu regardant les
^ COURS DE mAcARIQUE.
quantités désignées par z^ z\ z"^. . .^Zi comme positives pour des points situés d^un certain côté du plan, et comme négatives pour des points situés du côté opposé.
Eln effet, les points A, Â', Â^^ . . • , auxquels sont appliquées les forces considérées, étant situés d'une manière Fig. 18. quelconque, menons le plan
sdOfy parallèle à xOy et à une
distance 00' = h assez grande
; X pour que tous les points A, A',
^ A'', . . . soient au-dessus du plan
x'O'f. Alors si Z, Z', Z"
Zt désignent les distances, comptées parallèlement à Oz, des points d'application, au plan x'Oy^ on aura
RZ. = PZ -*- FZ' -h P^^Z^-t-. . .; mais, à cause de R = P-l- F-^-P'-f-. • ., on a
R/i =PA H- FA + P'^/i -f-. . .5 donc, en retranchant membre à membre,
Mais on sait qu'en ayant égard aux signes des coordon* nées, on a toujours
Z — A = Zf Z— A=^Zf...f Z|— A zzz S| j
donc on aura, dans tous les cas.
Rz. = Ps -h Vz' -h P'^z" -H . . .•
CALCUL UES COORDONlCéBS UU CEATIE DE PLUSIBOBS
FORCES PÂEALLÈLES.
43. Si l'on applique le théorème des moments a trois plana coordonnés, on aura, pour déterminer la grandeur de la résulunte R d'un sys^me de forces parallèles, et
TROisikMB Lcçoir» aS
les coordonné^ Xi, y^^ Zi de son point d^application, les quatre équations
1RX| = Px -h P' *' -f- P"^" -»-... f Bj-, = p/ -h py + PV+- • -f Rz, =Vz -hP'z'-f-P"z"-|-....
Quand les coordonnées sont obliques, on peut remplacer les x,^, z par les perpendiculaires abaissées des divers poinu sur les plans j^Oz, xOz, xO^; car cela revient à multiplier chacune des équations (a) par le sinus de Tangle que fait Taxe correspondant avec le plan des deux autres axes.
44. Si le plan xOy était mené par le centre des forces parallèles, on aurait Zf = o, et par suite R^i, ou
Donc la somme algébriçue des moments d*un système de forces paraHMes, par rapport à tout plan q tapasse par le centre de ces forces, est nulle. Et réciproquement, si la somme algébrique des moments d*un système de forces parallèles, par rapport à un plan, est nulle, ce plan contient le centre de ces forces, car de
Pz-*-P'a'-f-P"z"-i-... = o
on déduit Rzj ^= o, et, par suite, z^ = o.
45. Si le système des forces proposées se réduisait à un couple, on aurait R = o et
Ainsi, dans ce cas, il n'y a pas de résultante, comme on le sait déjà.
46. On peut encore déduire des formules ce fait, d'ailleurs évident par la construction géométrique, que si tous les points d'application sont dans un même plan, le cen-
a6 coims be mécanique.
tre des forces sera dans ce plan. En effet, si Ton prend ce plan pour plan des xy^ on aura z r=: o, 2' r=: o, . . . , et la troisième des formules (a) donnera Xi = o. On verra de même que si tous les points A, A', A'^ . . . sont sur une ligne droite» le centre des forces parallèles sera sur cette ligne.
