DANS VU MÊME PLAN

356. Par un point O du plan des forces P, P', P", ... ; fîg. ,20. menons une droite x'Ox

perpendiculaire à là dîrec-^ tioD commune de ces forces.

Appliquons au point O des forces égales et directement opposées, d'ailleurs égales et parallèles respectivement àP,P',P",....Onn'aura 1>I\M qu*à considérer les forces P, P', P", . . . , appliquées

12 COURS DF Ml^(.\MQUR.

au point O, cl les (•oui)k's (P, — P), (P\ — P') La

résultante des forces appliquées en O devant être nulle, on aura

en considérant comme positives les forces qui tirent daDi un sens, et comme négatives celles qui tirent dans le sens opposé.

357. Ensuite le moment du couple résultant de tout les couples (P, — P) (P', — P') , . . . devant être nul, on aura, en nommant o:, x\ x'^ ... les bras de leviers des couples composants,

(2) Px-^- P'jr'-f-P^x''...=:o.

Cette égalité auia lieu en regardant lea forces P, P, P'', . . . comme positives ou négatives, suivant leur sens, et les bras de levier comme positifs ou négatiCi, suivant qu^ils seront situés d'un côté ou de Tautre du point 0. En discutant les quatre cas qui peuvent se présenter relativement au sens de chaque force et à la position de son point d'application, on verra que chacun des produits Px, P^x/,. . . prend de lui-même le signe qui convient au moment qu'il représente.

358. Si les forces données ne se font pas équilibre, elles se rédui ron t à une force R et à un couple (S, — S) , lesqueb auront une résultante unique ; car R et (S, — S) sont dans un même plan. En effets en introduisant une force — R, égale et parallèle à R, appliquée à un point dont Xt ^era Tabscisse» il y aura équilibre, si Ton pose

Rjr, = Px-h P'x'-:

Puisque d'ailleurs

Rrr p-l-p'-i-p'. :-...,

on aura donc

Px-- P'.r' -h P'.i/' 4-. ..

TIIlGT-HVlTlltStB LEÇ09. l3

Ces formules détenninent la grandeur et la position delà résultante du système, laquelle est cigale et directemeot opposée k la force — R qui lui fait équilibre.

3^9. Si la force R était nulle, le système se réduirait ftu couple (S, — S), qui ne pourrait pas être tenu en équilibre par une simple force. Dans ce cas seulement il n*y aaraît pas de résultante unique.

COlfFOSITIOU ET ÉQUILIBBB D*Ulf STSTEMB DE FOBCBS

SITUÉES DkVS un IciMB PLAN.

>. Soient P, P', P*, . . . , les forces données; d'un

point quelconque O, pris dans leur plan, abaissons sur leurs directions les perpendiculaires OA, OB, OC, .... et regardons A. B, C, . . . comme les points d'application des forces correspondantes. Transportons toutes ces forces parallèlement k elleso^vnes au point O. Elles auront une certaine résul- ^^^te Ry et les couples provenant de cette translation se conriposeront en un seul dont le moment G sera donné par '* formule

P> J^'... . désignant les bras de levier OA, OB, . . .; on ^^ vient en outre de prendre positivement les moments ^^^ couples qui tendent à faire tourner leur plan dans un ^^tain sens et négativement ceux des couples qui agissent ^tis le sens contraire.

361. Dans le cas de l'équilibre, G doit être nul. On ^^ra donc

(ï) P/H- P>' -t- PV -I- . . = o.

^Osuite la résultante R devant être nulle, si X, Y,

l4 COURS r)l MICAM*,»! K.

X\ \\.., désignera les composâmes des ibiccs suivauL deux ftxes pris dans le plau^ On aura

(3) Y-t^T'-hY*'-f-... = o.

On appelle moment d* une force par rapport à unpoinlC^ le produit de celte force par sa distance au point em question.

On convient de regarder le moment d'une force comm positif ou négatif, suivant *que celle force tend à fai tourner la perpendiculaire abaissée du point Gxe sur s^ direction dans le sens direct ou dans le sens réirograde. En adoptant cette définition, on voit que ;

I ^ La somme des moments des forces par rapport à urM point quelconque de teur plan doit être nulle; a® le^ sommes des composantes suivant deux axes quelconques doiifent être nulles séparément.

362. On peut écrire Téquation (i) sous une autre forme, d'après laquelle les moments prennent d*euxmêmes les signes qui leur conviennent.

Soit P Tune quelconque des forces données. Avant de

la transporter au point O, décomposons-la en deux forces X et Y, parallèles aux axes. \a translation des forces X et Y au pointOdonnera naissanceàdeux couples (X, — X), (Y, — Y),el en appelant B Tangle des axes, et X, > les coordonnées du point A, les moments de ces deux couples sont Xj^sinô, Yxsin0. Pour un observiteur placé sur la perpendiculaire menée par le point 0 au plan xOj^ le couple (X, — X) tendrait à faire tourner son plan de gauche à droite, et le couple (Y, — Y) Je droite à gauche, en supposant les forces dirigées suivant 1rs parties positives des axes. Il faut donc désigner leun

VmGT-HCITlÊME LEÇON. t5

moments par Xy sinô et par — Yx sind. On reconnaîtra ensuite aisément que si une force ou Tune des coordonnées change de signe, le couple changera de sens, et par ec^iiséquent son moment prendra de lui-même le signe cc^uvenable. En opérant de même sur p^, p'\ . . . , Téqualion (i), après la suppression du facteur commun, prenla forme

303. Si les forces données ne se font pas équilibre, ^lles se réduiront à une force R et à un couple (S, — S) li auront une résultante unique, si R n'est pas nul, puisle cette force et ce couple sont dans le même plan. Une force R' = — R égale et contraire à la force cherlée devant former avecR un couplequi détruise (S, — S), appelant r le bras de levier du couple (R, *~ R), ^*ii aura

cl* OÙ Ton déduira /*. La force R sera donc connue en grandeur et en direction.

Pour obtenir la direction suivant laquelle agit la résultante unique — R', soient Xx, jti les coordonnées d'un point quelconque de celte droite, et Xi, Yi les composantes de la force R parallèles aux axes. Il y aura équilibre dans le système après rinlroductîon de la force — R ou. Ce qui revient au même, des forces — X,, ■ — Yf On doit donc avoir

- X.r. -i-Yx, 4- Xj- Yx-:- X>'- . . .=:o,

ou en posant

G=rX7- Yx X>'- Y'x'-n...j On aura

(5) — X,j, -I- Ya:, -f- G = o,

équation de la droite cbercliée.

COVBS DE MÉCAMIQUB.

Fig. 133.

ÉQtJÀTIOIlS GÉrr^^RÀLES DE L*éQUILIBKB.