DIRECTION DE LÀ TENSION DANS UN FIL EN ÉQUILIBRE
403. Soit AMB un fil flexible, d'une très-petite sear, atuchë par ses extrémités à deux points fixes A et B,
et dont tous les points sont sollicites par de très-petites forces.
Soit M un point quelconque de ce fil. Les deux parties AM, MB exercent Tune sur l'autre, dans l'état d'équilibre, des actions moléculaires égales et contraires. On ne connaît pas la nature de ces actions, mais on admet que tooles celles qui proviennent de AM agissant sur MB, te réduisent à une force unique T appliquée au point M, et de même que la partie MB exerce sur AM une action qui se réduit à une force ^ale et contraire à T. La valeur commune de ces deux forces est ce qu'on appelle la ten- Si'on du fil au point M. On pourra donc, si Téquilibie existe, supprimer la partie AM, pourvu qu'on applique au point M une force égale a T.
404. En considérant le fil comme la limite d'un polygone funiculaire dont les côtés deviennent infiniment petits, on est conduit à admettre que la tension s'exerce suivant la tangente au point M à la courbe que forme
TRENTE ET URlkME LEÇON. ig
le JiL Mais on peut démontrer directement ce principe de la manière suivante :
Fixons un point M^ voisin de M, sur le fil et solidifions la partie intermédiaire MM^; l'équilibre ne sera pas troublé. Mais alors, d'après les conditions d'équilibre d'un système dans lequel se trouve un point fixe, les couples qui résultent de la translation au point M' de la force T et des forces qui agissent sur tous les points matériels du fil compris entre M et M\ doivent se détruire. Comme ces forces ne sont pas nécessairement dans un même plan, le moment du couple (T, — T) est moindre que la somme des moments des couples provenant de la translation des autres forces ou au plus égal à cette somme.
Si l'on abaisse la perpendiculaire M' H sur la direction de la force T, et si l'on désigne par 0 l'angle M'MH, le moment du couple (T, — T) est
T.M'H=T.MM'sinô.
Soient fi la masse d'un point compris entre M et M' et P la force appliquée à ce point, rapportée à Tunîté de masse; ftP sera la force motrice appliquée à ce point. Le moment du couple (/xP, — fxP) est plus petit que fxP.fxM' et à fortiori que fxP.MM'.
La somme des moments de tous les couples analogues est donc moindre que MM'.Ps2/i, P, désignant la plus grande valeur de la force P dans toute la portion MM' du fil et S (A la somme des masses des molécules qui composent cette portion du fil.
On a donc
T.MM'sinô<P,.MM'2a,
d'où
La tension T a une valeur finie, car elle doit faire
4o COURS DE MÉCAiriQUE.
équilibre aux forces qui sollicitent la partie BM, Comme Tinégalité précédente a lieu quelque petit que soit Parc MM', on voit que si le point M' se rapprocha indéfiniment du point M, sind et par conséquent 0 deviendra plus petit que toute quantité donnée. Mais à la limite la corde MM' devient la tangente en M à la courbe; donc c*est suivant la tangente qu'agit la tension T.
ÉQUILIBRE D*Ulf FIL SOLLICITÉ PAR DE PETITES FORCES.
405. Cherchons maintenant les conditions d'équilibre d'un fil AMB, fixé â ses deux extrémités A (a, by c) et B (a', b\ c) et dont tous les points sont sollicités par depe-
Flg. 137. tiies forces. Soient M (x,y, z)
et M ' (j: -H d[r , j -H rf^, JB -*- rfa) deux points infiniment rapprochés sur le fil. Soit MM' = ^. Si T et T' sont les tensions du fil aux points M et MM'arc MM' doit être en équilibre sous Faction de T, de T' et des forces qui sollicitent les points compris entre M et M'. Cet équilibre a encore Heu, si Ton suppose Tare MM' solidifié. Donc les forces doivent être telles, qu'en les transportant parallèlement à elles-mêmes en un point elles se fassent équilibre.
406. Soient e le produit de la section normale par It densité au point M, P la force qui agit en ce point, et X, Y) Z ses composantes parallèles à trois aies Ox, OjTj Oz, L'arc MM' étant infiniment petit, on peot considérer e, X, Y, Z comme constants pour tous les points de MM'. Or T agissant dans le sens M' M, ses composantes seront
TRBKTE ET UlflkMB LBÇOH. 41
Les composantes de T' seronl égales à celles de T, prises en sens contraire et augmentées de leurs différentielles,
-I-4Î)' ^ï-^(^i> 'È^'i'ty
D'ailleurs en considérant MM' comme un petit cylindre,
Xtd>, YiiiSf ZtiiSf
sont les sommes des composantes des forces qui agissent sur les points de Tare MM'. On a donc
(0 )^(tS)-^^'^' = ^
-h Zids = o.
Dans la question qui nous occupe il n'y a qu^me seule variable indépendante^ supposons que ce soit x. Les équations (i) serviront i déterminer j^, z, et Tinconnue auxiliaire T en fonction de x. Ces équations sont nécessaires et suffisantes, et nous allons vérifier, après leur int^ration, que si elles ont lieu, toutes les forces qui agissent sur le fil, en y comprenant les tensions K et K', aux extrémités A et B de ce fil, satisferont aux six équa* tions générales de Téquilibre.
INTÉGRATION DES ÉQUA.TIOKS (l).
407* Intégrons d'abord la première des équations (i) par rapport à 5, entre les limites qui correspondent aux extrémité du fil, dont la longueur est /, on aura
Soient e^ff g'i ^\J\ s! ^^^ angles que les tangentes à
4 a COURS DB IféCÀlfIQUE.
Ja courbe aux points A et B font avec les axes, et K, H les forces qui proviennent de la fixité des points A, B, forces égales et directement opposées aux tensions des éléments 'extrêmes du fil. Cette équation devient
(3) Kcostf -+-K'cos^ H-
/ Xf^ = o;
elle signifie que la somme algébrique des composantes parallèles à l'axe Ox, de toutes les forces qui agissent sur le fil, est nulle. En intégrant les deux autres équations du système (i), on arriverait i la même conclusion, par rapport aux deux autres axes. Ainsi les trois premières équations de Téquilibre (365) sont satisfaites,
408. On peut aussi retrouver les équations des moments. Multiplions les deux premières équations (i) par y et x^ et retranchons la première de la seconde. Il en résulte
Or
par conséquent, en intégrant entre o et /, on aura K (flcos/ — 6co8ff ) -{- K' [a'cosf — 6'cose')
-f- f {Yx--\j)gds = o
Jo
Cette équation signifie que la somme des moments de toutes les forces qui agissent sur le fil, par rapport à Vaxe Ojs, est nulle. On obtiendrait de même les équalions des moments par rapport aux deux autres axes.
La même chose peut se dire d^une partie quelconque du fil, pourvu qu'on joigne aux forces qui sollicitent tous ses points, deux forces appliquées tangentiellement a ses extrémités et équivalentes aux tensions que cette partie éprouverait de la part du reste du fil.
TRENTE ET UlftÈME LEÇON. 43
