IC

ÙC

Le système étant solide, si Ton conçoit que les axes des ^19^1^ ^1 9 ^n lassent partie, un déplacement quelconque du système changera la position de ces axes, aussi bien que x^jr, Zy mais ne changera pas Xt , ji , -^t • Donc

ISx -'Sa -{'Xiêa -k-yiSb -f- «, àc , 5jr — ^ -f- jPj ^a' -H J^i Sb' -4- », Sc\ Sz^Sf -^x.Sa" •^y^Sb''-\- z, Se",

Supposons qu*avant le déplacement les axes des X| ^y^ , «i, coïncident avec les axes des x, j , z^ alors ou aura

X = X| y y ^=zjrtf zz=,Zif

TaEKTB-CIlfQUltME LBÇOTf. 85

et par conséquent

O -r-- I , A r-rr O, C = O9

^fl =0, 9b' =:^o, Se*' = o (*),

et les équations de condition (3) donneront, par la différentiation,

êb'^9a'=zOj èe-hèa'' = Of ^c' -f. ^^'^ = o.

Posons

Sa' =: - ^6 = ^», ^tf = — 9fl''=: (îiP, ^r ::zi — Se' = 0>,

on aura

Sx = ^a — yS» -h *^\[>,

^^ = ^ -h X J» — zS<f^ Sz =zSy — xS^ — J^f ;

et en substituant dans Téquation générale

\ (X^x-h Y^^-r-Z^«) = o, il vient

Sa\x -4- Sî\y -i- Sy\z -r- JwV (Yx — Xj^)

Les variations da, dS^. . , étant arbitraires, cette équation ne peut avoir lieu que si les coefficients de ces variations sont nuls -, on retrouve ainsi les conditions exprimées plus haut (467, 468).

ÉQUILIBRE n'vif SYSTÈME SOLIDE GÊNÉ PAR VU OBSTACLE.

471. Si le système renferme un point fixe O, on prendra ce point pour origine des coordonnées et on exprimera, au moyen de trois équations, que les distances

(*) Ce* dernières équations peuvent s'obtenir en différentiant les formnlei (3 ) et en introdaisant les hypothèses a = i, « = 0, ...

mutuelles des points A, A' et O sout constantes; puis par 3 (n — 2) équations que les distances des n — 2 autres points à A, A' et O restent invariables, ce qui fait en tout 3/1 — 6-f-3ou3/i — 3 équations de condition entre les coordonnées des points du système. Donc il j aura, dans ce cas, seulement 3 équations d'équilibre entre les forces. On obtiendra ces trois équations en fai* sant tourner le système successivement autour des trois> axes. Il est évident d'ailleurs qu^à cause de la fixité dim point O, il est impossible de faire mouvoir le corps pa — ralièlement à un axe comme lorsqu'il était libre.

472. S'il y a deux points fixes O et H, ou, ce qui re — vient au même, un axe fixe OH, on prendra cette lign^ pour axe des z. On exprimera, par deux équations, qu^ les distances du point A aux points O et H sont invariables et, par 3 [n — i ) équations, que les distances des n — c autres points aux points O, A, H sont également invm— riables, ce qui fait en tout 3n — 3-4-2 ou 3/i — 1 relations entre les coordonnées des différents points du corps. Ainsi le système est à liaisons complètes; et, en eflet, un seul déplacement est possible, c'est un mouvement de rotation autour de Taxe OH . C'est par ce déplacement virtuel qu'on parviendra è la seule équation d'équilibre à laquelle les forces appliquées au corps doivent satisfaire (373).

ÉQUILIBRE nu POLTGOIIB FOHICULAiaE.

473. Soient A, A', A'^, . . . , A ^'*~ *\ /i points onispâr Fig. i5i. des cordes formant uo

polygone de n — i c^tè dont les sommets sont tirés par n forces P, P, K..., P<—*>. Il faut d'abord exprimer que les longueurs des côtés sont données et égales a /, A

TREJNTE-CINQUlklIE LEÇON. 87

', . • • 9 en désignant par x, j^, r, x\ y\ «',.,. les coordonnées des points A, A', . . . par rapport & trois axes K*^ctangalaires, on aura les n — i équations

/'- V'(ar^~a/)»-^(y-/)»-t-(»*'-*'j' = 0.

En différentiant ces équations, on aura

t n <^- 2 équations analogues. A ces/» — i équations \\ faudra joindre la suivante

2(X«x -h Xiy 4- Za») = o.

474. En employant pour l^élimination des n variamions la méthode générale des multiplicateurs et en faisant usage des mêmes notations, on obtient les 5 n équations

x'-hX— ^^^ hf* — p — =0,:

88 C0U18 OB MÉC41IIQVB.

et

X'H-ft — p h» p =

On aperçoit facilement la loi diaprés laquelle ces équations sont formées. En éliminant entre elles les n — x indéterminées X, fx, v,. . . , ou aura 3n — [n — 1) on a/1 + I conditions d'équilibre.

475. Les quantités auxiliaires X, fx, v,... ne sont autre chose que les tensions des divers cordons, en

supposant ces quantités positives. En effet X -^ — $

^ y X — - — sont les composantes parallèles aux

axes d'une force égale à X, agissant suivant AÂ'de A vers A'. Or les relations (i) font voir qne cette force X et la force P, appliquées au point A, se détruisent. Ainsi l mesure la tension du cordon AA'. On retrouve en même temps (e résultat connu (389) que la force P est dirigée suivant le prolongement de A A' lorsque le polygone est en équilibre.

Les équations (2), outre les composantes de P, contiennent celles d'une force égale et directement contraire à X, c'est-à-dire agissant au point A\ suivant AA' de A' vers A. Les mêmes équations renferment les valeurs des composantes parallèles aux axes, d'une force égale À fA et dirigée suivant A' A'' de A' vers A'^ si la quantité fi est positive. Ces trois forces se font donc équilibre au point A^ Ainsi fx mesure la tension du coi^ don A^A''. On verrait de même que v est la tension du cordon KI'I^'\ et ainsi de suite.

TRBlTTB-CrilQVlkME LEÇON. 89

476. U est facile de prouver que la tension d'un cordon quelconque est la résultante des forces qui agissent d'un même côté de celui-ci, transportées parallèlement à elles-mêmes en un point de sa direction. Ce qui précède le démontre pour le premier cordon. Pour le second, il suffit d^ajouter deux à deux les équations (i) et (2) : ou a ainsi

X'-hf* — ^ï — =0, y" — y'

z' -4-iMt ^ T' =0.

^^ i^nlte de li que les forces P, P' et la tension jui du cor- ^^ A'A^, cette deroière agissant de A' vers A'', se font ^T^libf e. Donc une force égale et contraire â fA qui me- ^re aussi la tension du cordon A' A'' est la résultante des '^t'ces P et P'. On verrait ensuite, en ajoutant trois i ^is les équations (i), (a), (3), que la tension du cordon vivant est la résultante des forces P, P' transportées ^u A^ et de la force P'', et ainsi de suite.

477. Si X, fA, y,... n'étaient pas toutes positives, le po- Ijgone funiculaire ne serait pas en équilibre; car si /x, par exemple, était négative, les points A' et A^' seraient tirés par deux forces égaies et contraires qui tendraient i les rapprocher. Cependant l'équilibre aurait encore lieu si les cordons étaient remplacés par des droites rigides, car on a exprimé que les distances AA^ A' A', . . . doivent être constantjBS.

sua UNE PROPRIÉTÉ DE L^ÉQUILIBRE.

478. La formule des vitesses virtuelles conduit à une remarque importante.

go COURS DB MÉCIUIQUB.

Supposons que le premier membre de TéquatiOD

soit la variation exacte d'une fonction de x^Xy z^x^, y' y z\. . .^ considërëes soit comme des variables indépendantes, soit comme des variables liées entre elles par les équations L = o, M =: o, etc., on aura

y (X^jr -h Y*7 -i- ZSz) =z S/{x,x, », x', /, «*, . . .).

Il faut et il suffît pour cela que X, T, Z, X^, . . . soient lesdétivées partielles de la fonction y*, par rapp<m i x^jTy z^x'y.,.. Alors pour la position d'équilibre et sen* lement pour celle-là, là valeur correspondaute de It fonction /(x,^, Zj. , .) est un maximum ou un minimum, si toutefois cette fonction est susceptible d^nn maximum ou d'un minimum ; car pour toute autre pnâtion du système, sa variation est différente de xëro. On démontre que l'équilibre est toujours stable quand le maximum existe; cela veut dire que si Ton écarte on peu le corps de sa position d'équilibre, il tend k y revenir ec atteint cette position après un temps plus ou moins long. Si le minimum a lieu, l'équilibre peut être insubie, auquel cas le corps un peu dérangé de sa position d'équilibre n'y revient plus.