L'expression

est une variation exacte quand les forces motrices sont dirigées vers des centres Gxes et fonctions des disunces de leurs points d'application aux centres. Supposons, pour simpliâer, qu'il n'y ail qu'un seul centre K (a, é,c); soit R (X, Y, Z) l'intensité de la force qui agit au pmnt Â(x,^, 2) suivant AK; supposons-la attractive et soit

TRBMTB-CINQUIÊME LEÇOS. QI

AK. =- /*. On aura

GU bien

i cause de

(x — ii)> -f- (r — ^)' -i- {* — c)» = r\

On trouTerait -F Rd'r, si la force était répulsive. De même en désignant par R' (X', Y', Z'J , R'^ (X^ Y'', Z^) , . . . les forces attractives ou répulsives qui agissent aux points A'j A" y . , . situés aux distances r^, r'\. . . du centre fixe, on aura

Cette fonction est unediflTérentielle exacte, si, comme on le suppose, R est une fonction de r, R' une fonction de r', etc.

480. Si les forces R, R^ R^', . . . supposées attractives ont pour expressions

fi étant un coefficient constant, le second membre sera la différentielle exacte de

Ainsi, dans ce cas, la fonction

est un maximum ou un minimum quand il y a équilibre.

Pa COURS DE MÉCAlTTQrB.

481. Le premier membre de Téquation générale det vitesses virtuelles est encore une diiTérentielle exacte, quand les forces considérées proviennent des actions mutuelles des points du système et qu'elles sont simplement fonctions des distances mutuelles des pointa qui agissent les uns sur les autres.

Soit en effet R la force avec laquelle deux points A(x^jr. z) et A'{x\j'\ z') agissent Fun sur Tautre. La force qui tire A vers Â' a pour composantes parallèles aux axes

et les composantes de la force égale i R qui tire A' vers A

sont

ces forces introduisent donc dans 2 (X<ïx -H T ^/ -i- Ut] un groupe de termes

~ R ^^(^x' - ^x) - R^^^(a/ -. ^r; - R^-— ?(*«'-- Jî) ou — R <ïr, à cause de Téquation

H = (x — x')» H- {y —yy-^ {* — »' )'.

Il en résulte que

V (X^x -+-y^7 -h Z^s) == —V Rir.

Or d'après l'hypothèse \ R(}r est une différentielle

exacte.

S'il n'y avait que deux points et qu'ils fussent assujettis à demeurer i une distance constante l'un de l'antre, on aurait Jr-.= o et qrRJr=o. Par conséquent li somme des moments virtuels de deux forces égales et contraires agissant suivant A A' est nulle; c'est le lemme dont on a fait usage au n^ 446.

TREBTB-ClMQUlkME LEÇOV. 93