Soient k(x,y,z), M{x\y,z% M'[x%y\z

les centres de grauité de plu" sieurs corps dont les poids sont respectii^ment p, p', p",...^ et O le centre de gravdté du sy^stème de ces poids,- posons OA = r, 0A'= r\ 0^"= r', . . . :

^ si Von applique suiifant OA,

OA', OA'', . . . des forces pr^ p' r\ p"r''j . . . , ces forces se feront équilibre»

En efTet, menons par le point O trois axes rectangulaires. Puisque le plan z Oy passe par le centre de gravité, on aura (57)

(i) px-^-p'j^ -^p'x^'V'.. . = o.

Or on a

xz=:rcosa, jBf = r'coia\ **'= r^'cos «*',.. .,

a, a\ a"^ . . . étant les angles que OA, OA', OA'', • . . font avec Taxe des x; donc

(2) prco%a -h p' r' eosa' -h p" r" cosa" -^ . . . = 0.

Mais/7rcosa, pV'cosa', p^r"cosa'^,. . . sont les composantes des forces ^r, p'r\, . . estimées suivant Taxe Ox. Donc, comme la somme algébrique de ces composantes est nulle, quelle que soit la direction de cet axe, les forces pr^ p'r\ . . . , appliquées suivant OA, OA', . • • , se font équilibre (23).

59. On conclut de Ih que, si les poids appliqués en A, A', A", • . . sont égaux, des forces appliquées au point O et représentées par les droites OA, OA', OA^, • • • se font équilibre.

60. Réciproquement, si des forces appliquées en un même point O, et représentées 9 en grandeur et en direc^

^UÂTIilkXB LEÇOlf. 33

lion, par OA = r, OA' = r\ Ok" = r^,..., se font équilibre, des corps ayant tous des poids égaux à p, et leurs centres de gratuité aux points A, A', A'^, . . . , formeront un système dont le centre de gravité sera au point O.

En effet, puisque les forces se font équilibre, on a

(i) rcosa-l-r'cosa'-l-r"cosa^-h. . .= o;

par suite

(2) /?rcosa-f-/?r'cosa'-f-/?r*'cosa^4-.*. = o,

ou bien

px -+-/?j/ -h/Kc^-f-. . .= 0.

Mais si P désigne le poids du système, et Xi, ^1, z^ les coordonnées du centre de gravité, le premier membre de la dernière équation est égal à Pxi. Donc

On démontrerait de môme que Ton a

(4) Ji = o, «, = 0;

donc le point O est le centre de gravité du système.

61. Soient A (a:,j, z), h! (x',y, z'). A'' (x'Sy'', z"),... irj ^j^ les centres de" gravité de divers

poids ;?,p',y3^,...,etG(xi,jt»«t) le centre de gravité du système.

Q« ' les axes étant menés par un point

•^"^ quelconque. Posons

OA = r, OA' = r% ^ Ohr = r\...y 00 = r,.

On a, comme nous l'avons vu (56),

Ip X, = ^x -f- />' x' -h /?" r*^ -+-... , Pzi =/?« -f-/»'»' -{- p''z' -i-. . . • Stcrm. — Méc, I. 3

Élevant ces trois équations au carré et igoutant, on a

PVJ = /i»r» -4- /?'*r'> -f- ^''V» H- . . .

Or on a

AA' ={x ^ ar'Y-h (X — y^-^i^- zy

donc

2 (au:' -4-^/ -h *s') = r» -h r'« — AA' ,

et de même

2 (xx^ -f- ^/' -f- «£'' = r' -H r*'» — AT' \

et ainsi de suite.

Donc

ou bien

PVJ = (pr^-hp'r'' -4- p^r"^-^. . .)(/> -f-y -+-/>'' -*- • • )

— />/?' AA' — PP'JlA!* — ... — p'p''h!h:* — . . . ,

ou, à cause de P=p-f-p'-i-p'^-f-- • • »

— /y?' AA' — /i/i'^AA" —

Celte formule donne la distance Tj du centre de gravité & un point quelconque O, en fonction des distances des points A, A^ A'^,.. . au point O, et des distances mutuelles de ces points. On pourra donc déterminer la position du centre de gravité G, en calculant par cette formule sa distance & trois points donnés.