De la dernière formule on tire
QUÂTAIÈMB LEÇON. 35
Quand le point O se déplace, le terme J?r] varie seul dans le second membre ; on en conclut que l'expression
atteint sa plus petite valeur quand /*i = o, c*est-à-dire quand le point O coïncide avec le centre de gravité du système, et que cette expression a la même valeur pour tous les points de la surface d*une sphère, ayant le point G pour centre.
CBmrilE DE GEAVITÉ DES LIGHES.
63. Les lignes et les surfaces que Ton considère en géométrie n^ont aucun poids \ mais on peut supposer que ces figures soient chaînées d'une multitude de points matériels pesants, ou, ce qui revient au même, que tous leurs points géométriques soient sollicités par de petites forces parallèles. Le centre de ces forces sera, par définition, le centre de gravité de la ligne ou de la surface considérée.
Une ligne est homogène quand des parties de cette ligne égales en longueur sont sollicitées par des résultantes égales ou des poids égaux. De même, une surface sera homogène lorsque des portions égales de cette surface auront des poids égaux.
64. Pour trouver le centre de gravité d'une ligne homogène CD, il suffit d^exprimer que le moment du poids de cette ligne, par rapport à trois plans quelconques, est égal à la somme des moments des poids des éléments linéaires qui composent cette ligne, par rapport aux mêmes plans.
Soient CMD =: / la longueur de l'arc entier, M (x^ jr^ z) un point quelconque de cette ligne, et posons
On a d'abord, entre des limites
Fiç. aa.
36 CPUIIS DE MÉCA2fIQUE«
convenables,
Le moment de l'élément MM' = ÙSy par rapport au plan xy, est A^fz + a), a devenant nul en même temps que ùs. En effet, on peut supposer que le point M'(x 4- Ax, jr H- ùjTy z 4- Az) soit assez rapproché du point M pour que Parc MM' soit entièrement compris entre deux plans parallèles à xOj^ menés par les points M et M'; par suite, le z du centre de gravité de ce petit arc sera compris entre z et z + As. On pourra donc le i*eprésenter par z + a, a étant moindre que ùz.
Donc, si Fon désigne par Xi ,yi , z^ les coordonnées du point G, centre de gravité de CD, on aura
(l) izi = Ss 5 4- ZaA;,
de quelque manière que la courbe soit partagée. Cette équation a donc encore lieu quand les éléments analogues a MM' sont infiniment petits et leur nombre infini. Mais on sait que
liin£aÀ^=:0| \ïmlz^s =z I zds; donc
lzt^=: j z ds.
On opérera de la même manière par rapport aux plans xOz et ^Oz, de telle sorte que les coordonnées du point G seront déterminées par les trois formules
/«i=/jrd!f, fy^z=z lyds^ izt=ztzds^
ces trois int^rales étant prises entre des limites qui correspondent aux extrémités C et D de Tare proposé.
65. Si la courbe est plane, on peut prendre son plan pour celui des xjTy et alors Zi s= o. On n'a donc plus
QUlTRlklIB LEÇON. 37
besoin que des formules
U,= \xds^ ly^^zifdi.
66. On peat encore parvenir aux formules (3) en considérant la ligne CD comme la limite d'une ligne polygonale et homogène qui lui serait inscrite.
En effet, on peut admettre comme évident que le centre de gravité d'une droite homogène est au milieu de sa longueur. Le moment de la droite MM^ par rapport an plan xOjr^ sera donc
MM
Zi étant le z du centre de gravité de la ligne polygonale inscrite, on aura donc
--__, .««•• MM a ùkZ
»,.2MM' = XMM'.z -h I •
Si l'on passe à la limite, on aura
/MM' Al zds^ limZ — ^ — = o;
donc
/2|= Izds^
CODKS DE MÉCAHIQTIB.
CINQUIÈME LEÇON
