DEUXIÈME PARTIE

TRENTE-SIXIÈME LEÇON

PRINOPE DE D'ALEMBERT.

Démonstration dn prineipo de d'Alemberi. — Remurqne sur ce prineipe. — Éqaation générale du moQTement d*un tyilème. — GooaéqMneai de cette éqaation.

DéMOnSTRATIO» DU PaïKCIPE DE d'aLEMBEET.

483. Le mouvement d'un système de 'points assajetUs à des conditions quelconques et soumis è des forces qndconques se détermine au moyen d'un principe très général que Ton doit à d'Alembert. Mais avant de le démontrer, nous allons rappeler la définition générale de Téquilibre.

On dit que des forces appliquées a un point ou à on système de points se font équilibre, quand Tétat de celui* ci n'est nullement changé par leur suppression. Cette définition ne suppose pas le système en repos. Il peut être en mouvement, et alors on dit que les forces se font équilibre quand, en les ôtant, ou ne modifie pas le mouvement du système.

484. Considérons un système de points en mouvement M, M', M", ... ; soient m, m', m% . . . leurs masses et P, P', P", ... les forces qui les sollicitent. Ces points sont assujettis à certaines conditions, ordinairement exprimées par des équations entre leurs coordonnées.

taeute-sixièmb leçon. 96

Considérons en particulier un de ces points, par exem- Pj jjjj plelepointMquiestsol-

p, licite par la force P. Le / ^ mouvement de ce point ''^v^'^''^y<^^~' "'est pas le même que /^ s'il était libre. Soit Q la 1 force qu'il faudrait lui

appliquer, s*il était libre, pour lui donner le mouvement qu'il a réellement. Les composantes de la force Q parallèles

iPx d}y d}z

dt^ dt* dt*

aux axes

lont des fonctions du temps connues ou inconnues, mais déterminées. Soient de même Q', Q^', ... les forces qp'il faudrait appliquer aux points M', M'^ . . . , s^ls étaient libres, pour leur conserver le mouvement qu'ils ont dans le système. On voit que si Ton substitue les forces Q, Q', Q", . . . aux forces P, P', P'', . . . , tous les points prendront le même mouvement qu'auparavant, sans que les mêmes conditions analytiques cessent d'être remplies; car, puisque leur mouvement est le même dans les deux cas, les équations de conditions seront encore satisfaites. Ainsi, au système des points assujettis aux conditions données et sollicités par les forces P, P', P^v9 on pourra substituer le système des points assujettis aux mêmes conditions et sollicités par les forces Q, Q^,

485. Cela posé, le système étant sollicité par les forces P, P', P^, • . . , on ne modifiera point son mouvement, si Ton applique respectivement aux points M, M', M'', . . . les forces égales et directement opposées Q, — Q, Q'j ^ Q%. . ., qui se font équilibre deux à deux. On

g6 COURS DB MÉCÀKIQUB.

vient de voir que, sans qu'on ait à changer lesliaisontda système, les forces Q, Q', Q'\... produisent le mouvement effectif. DonclesforcesP,F,F, . . . ,^Q^—Q^, — Q»,... se font équilibre, puisque le mouvement n'est pas changé parleur suppression. On arrive donc ainsi au principe qui porte le nom de d*Alembert, savoir que les forces motrices d'un système font à chaque instant équilibre à des forces égales et contraires aux forces qui prodmraient son mouvement effectif si tous ses points deve^ naient libres.