On peut présenter le principe de d'Alembert sous

une autre forme, utile dans quelques cas. Décomposons la

Fig. i53. f^*"^® ^ appliquée au point M en

deux, dont Tune soit la force désignée par Q, et Tantre une force que nous appellerons R.

Nommons de même Q', R\ Q', ""^Z^" " R^', ... les composantes ana-

logues des autres forces P, P', . . .

On peut remplacer les forces P^ F', P^', . . . par les forces

Q, R, Q', R', Mais alors on voit que les forces

R, R^ R^,. . . doivent se faire équilibre, puisque les composantes Q, Q', Q''. • • • donnent le même mouvement que les forces P, P', P'', .... Ces forces sont dites les forces perdues. Quant aux composantes Q, Q^Q',..*, on pourrait les appeler ybrc^s effectiv^es^ puisqu'elles ont sur le système le même effet que les forces motrices P, P', P^', .... On peut donc dire qu'à chaque instant les forces perdues se font équilibre.

Cet énoncé revient au précédent; car chaque force B est la résultante des forces P et — Q. Dire que les forces R se font équilibre, revient donc à dire que leurs compo» santés P, — Q, P', — Q', ... se font équilibre.

TmBfiTE-sixiÈME LEçoK* gy

487. s est bon d'observer qu'on ponrrait remplacer d'une infinité de manières les forces données par d^antres susceptibles d'imprimer le même mouvement au système, non plus libre, mais assujetti aux conditions données. En effet, supposons que des forces R, R', R^, ... se fassent équilibre. On pourra déeemposer chaque force P en deux forces R et Q. Comme les forces R se détruisent, il ne restera que les forces Q qui produiront le même mouvement que les forces P. Il en résulte que le système P, P', P'^, . . . et celui des forces — Q, — Q', — Q". . . , égales et opposées aux forces Q détinies en dernier lieu, se font équilibre. Mais cette conséquence est peu utile dans les applications, parce qu'on n'a pas l'expression analy* tique des nouvelles forces.

éQUATIOH GÊlIÉaALE DU MOUVEMENT d'd9 SYSTÈME.

488. En vertu du principe de d'Alembert, toutes les questions de mouvement se trouvent ramenées a des questions d'équilibre. Voici comment on s'en servira pour obtenir les équations du mouvement d'un système dans lequel les points sont assujettis à certaines conditions.

Soient

/équations de condition, exprimant les liaisons du système. Ces équations contiendront en général, outre les coordonnées des différents points, le temps £, de sorte que les conditions peuvent varier avec le temps.

Soit P la force appliquée au point M, dont la masse est m. Nommons X, Y, Z ses composantes parallèles à trois axes rectangulaires ; celles de la force que nous avons appelée — Q sont égales à

^m—, -m—, -^-âê'

Stoem. — Ife'c, II. 7

p8 COURS DE MÉCAHIQUB.

Les deux forces P et — Q peuvent donc être remplacées par trois forces parallèles aux axes et qui ont pour expression

d^ dt*

On aura des expressions analogues pour les antres points M', M'',.... Comme les forces P, — Q, P\ — Q',..., se font équilibre, il faut que la somme de leurs momeots virtuels soit nulle, c'est-à-dire que Ton ait

Sx"

ou, par une notation plus abrégée,

di* d

Cette équation est vérifiée à chaque instant. Ainsi à une époque quelconque le premier membre est nul, en ayant égard aux équations (i), et 5x, dy, î«, Jx', Jy',, .. représentant les variations qui résultent de ces équations pour les coordonnées des divers points du système. Il ne faut pas confondre ces variations, qui sont les projections sur les axes des déplacements virtuels des points du système, avec les difTérentîelles dx^ dy^ dz^ dx\ ... qui sont les accroissements infiniment petits des coor-

TKBUTE-SIXlkMS LEÇOIT. 99

données dans le mouvement efTeciif et pendant Tintervalle de temps ^< (*).

COHSÉQUENCVS DE l'ÉQUATIOV GÉJféRÀLE.