Voyons maintenant comment au moyen de la relation
on obtiendra, dans chaque cas, les équations du mouvement. Les conditions
devant être satisfaites par le système dans sa position actuelle et dans celle qui correspond à un déplacement quelconque, il faudra difTérentier les équations (2) par rapport à x^jr^ z, x^ . . . , sans faire varier le temps. On aura ainsi entre les variations Sx, iy^ îz, îx',....
(*} Les déplaeements ^x, ^r,... MtUfont aaz équations ^L = o, ^11 = Oy. . . , e*eftt-à-Kiire
tandis que Ton a
rfL^ <fL^ JL,
-r- dt -i- -- dx -T —- dy ~\- . . . =0,
dt dx djr '
On ne pourra donc pas prendre en général J x = dx^ on ne pourra le
dL dVL
faire que 8i-^ = o, — =0,..., c'est-à-dire que si les liaisons L = 0,
M = Oy . . . sont indépendantes du temps.
lOO COUKS DE MÉGÀlftQUB.
les I équations suivantes :
rfL, dh^ dh. dh^ ,
dM^ rfM. dM^ dllL^ , (3) \'d^^^-^'dP^^-^-d^^''^d^^''^"^''^
dV . rfN ^ dm ^ dJi ^ ,
—- dx-h -^ J/ -f- -7- d« H- T^ox-h . . . =0,
dx djr dz dx'
Si n est le nombre des points du système, il j aura donc 3/1 — I variations arbitraires et i variations fonclioos de celles-là déterminées par les î équations précédentes. On portera les valeurs de ces i variations dans réquation (1), et égalant à o les coefficients des 3/i — 1 variations restantes, on aura 3n — î équations difFérenUelles entre le temps, les forces et les coordonnées des points du ^stème. En y joignant les i relations (a), on aura 3is équations pour déterminer les 3/i variables x, y^ ZyX\y\z\..,<t en fonction du temps f . Il restera à int^rer ces équations pour connaître la position de chaque point du sjsièoie i une époque quelconque du mouvement.
490. On peut, comme on Ta fait dans une autre occasion (460), employer la méthode des multiplicateurs. Eo multipliant les équations (3) par des coefficients indéterminés i, ji, Vy . . . , les ajoutant avec Téquation (i), pois égalant à o les coefficients des 3 /i^ variations, on a les 3 n équations suivantes :
d^x ^ dh dM JN
£//» dx '^ dx dx '
d^X ^ ^^L dM dn
di^ dx ^ df djr
(4) { d^z ^ ,dl, dU dm
""IF^^-^^-d^-^^li^'l^
,d^af ^, ,dL dM ^ i/N
'''liF^^-^^d^'-^^ZP^'d^
TftBlfTB-SIXlèMB LEÇOV. lOI
L*ëHminatioQ des / indéterminées X, fx, v, . • . entre ces kjtiatîons donnera 3n — /équations : en y joignant les f équations (a), on aura 3n équations pour déterminer les valeurs des in coordonnées x^jr^ z, x\ . . . en fonction du temps.
491. Les facteurs X, fi, v» . • . représentent les forces perdues et font connaître les tensions et pressions qui i*exercent dans les liens physiques du système. Pour le bien comprendre, décomposons, comme nous l'avons fait plus Iiaut (486), la force P dans les deux forces — Q et R,
et opérons la même décomposition pour les forces P^P^
On sait que si Ton supprime les forces R, R', R'^^ ... « chaque point conservera encore son mouvement. On sait, déplus, que sous l'action des forces Q,Q^Q'^ . . . chaque point aurait encore le même mouvement, quand bien même il deviendrait entièrement libre; de sorte que les points assujettis aux liaisons données se meuvent alors sans exercer aucune action les uns sur les autres^ et par conséquent les liens physiques du système n^épronvent ni tensions ni pressions lorsqu'on a supprimé les composantes R,R'» ....
Si Ton rétablit ces composantes, elles se font équilibre è Taide des liaisons du système, et le mouvement demeure le même. On voit donc que ces dernières forces produisent seules les tensions et pressions dans les liens du système. Par conséquent, lorsqu'on connaîtra R, R^ R^, . . . , on pourra déterminer les actions que les liaisons produisent sur les points du système, et par suite les tensions et pressions que les liens éprouvent, comme on Ta vu, dans un système de points assujettis à des conditions quelconques et soumis à des forces données qui se font équilibre.
402. On a d'ailleurs les expressions des forces perdues R,R', R^,.... Les composantes do R, parallèles jiux axes.
sont
COURS DE XtCAllIQUB.
celles de R' sont
Or les équations (4) donnent
d^x /, rfL r/M rfN
d^y /, rfL rfM rfN
rfr* V rfr HT rfr
rf>z /, rfL rfM rfN ^ "rf.'- i'rfs-^'^rf. -^^rfs-^
,rf>j/ /, rfL rfM rfN ^ '"rfr«= (^rfx-^'^rfr'-^^rf^-^-
expressions dans lesquelles il faut remplacer X, fi, v, ... par leurs valeurs déterminées au moyen des é(iuations (4)«
TRBUTB -SEPTIÈME LEÇOH, lo3
TRENTE-SEPTIÈME LEÇON
