AUTRE SOLUTION
506. On peut encore résoudre ce problème sans faire usage du principe de d^Alembert. Soient T, T^ T''' les tensions des trois fils. La tension T'., par exemple, est égale à Tune quelconque des deux forces égales et contraires qu'il faudrait appliquer aux points m^ et nt^' pour remplacer le fil qui les unit, s'il venait à ôtre supprimé. Or on a évidemment
du
dt
,dp
m' -■ dt
m" — =1 dt
, ^rtf
dv
ces équations
, on
dv
di "
Il6 COURS DB MÉCARIQUE.
U est ensuite facile d'obtenir les valeurs des tensioDS. On a
M On voit donc qu'on a
et cela doit être, car la tension T^ met en mouvement trois masses, tandis que V n'en fait mouvoir que deux et T qu'une seule.
Dans ce qui précède on a négligé la masse des cordons. Si l'on en tenait compte, la tension serait variable dans l'étendue d'un même cordon.
MOlIVEME^T d'une CHAllfE SUE DEUX PL41XS IISCLIBÉS.
507. Soit BCiy une chaîne pesante homogène qui repose sur deux plans inclinés disposés comme dans li fig. i54» p. 109, et faisant avec Thorizon des angles CAA'= ay CA'A = a'. Soient / la longueur de la chaîne. p la masse de l'unité de longueur. Posons x=BC, x' ^ i^C, en sorte que l'on ait
(1) x-|-wr'=r/.
Considérons une molécule n prise sur la portion CB. Les forces qui la sollicitent sont la force motrice ngsinoL^ et
la force effective m----« Toutes les forces motrices des
molécules de la partie CB et leurs forces eflfectives prises en sens contraire se composent en une seule
^•"'« - -sjr ; 2(«
TREMTB-HfJITlkME LEÇON. II7
OU bien
(y,ina-^)
De même la différence entre les forces efiectives et les forces motrices de la partie CBf sera
fj/^^sina-^-^j.
On aura donc, d'après le principe de d'Alembert,
(a) x(^Mna- '-^) =y (^,i„.' :^)
d'où, en éléminant x* k Taide de Téquation x + x' = /,
d^jr fsina + HÎna') . ,
Telle Cit Téquation du mouYcment.
808. Pour intégrer cette équation, posons, afin de simplifier,
Téqualion (3) devient
r/»^ / /sina' \
--- — /iM X ;: ;; = O,
di^ \ Sina + siiia'/
OU bien
en posant
/sina'
sina -f- sina' ~
Il8 COURS DE MÉCANIQUE.
L'équation (5) a pour intégrale
on aura donc (7)
/sina'
siDs + sina'
 et 6 étant deux constantes. Pour les déterminer, on
peut supposer connues la position et la vitesse initiale
dx du point B. Si pour t = o on a CB = x^ et — = l'i, on
aura
/sina'
sine + SIDa
Au bout d'un certain temps facile à déterminer, tonte la chaîne se trouve sur le même plan. Le mouvemeot change alors de nature et devient uniformément accéléré.
509. La condition nécessaire et suffisante pour que la chaîne reste en repos est que Ton ait
dx
En effet, en remontant à la valeur de u ou de -r^ on
reconnaît que Ton doit avoir
Atf"'— Btf-"' = o,
quel que soit t^ ou, en multipliant par e'"',
Or cette équation ne peut pas avoir lieu pour tontes les valeurs de f , à moins que Ton n'ait en même temps A ==0, B = o. Dans ce cas on a
r=:CB=:
x'=CB'=:r
Isina
sm a 4- sm a'
Isina sina -h sioa'
TRSSTE-HClTlkME LEÇOlt. I IQ
et par conséquent
CB sina'
CB' sina'
Cette équation exprime que la droite BB' est liorizontale, ce que Ton pouvait prévoir.
510. On peut encore trouver Téquatiou de ce mouvement en s'appuyant sur le principe des vitesses virtuelles» Ainsi les forces
px^^sina- -^j, px'^^sina'- — j,
étant respectivement appliqués aux points B et B' dans la direction du mouvement que ces points peuvent prendre, il faut, pour Téquilibre, que Ton ait
pxlgnnct ^j Sx-^px'lgslna' — '-^j ia/ z=:
D'ailleurs dx' = — dx, puisque a: +x'= /. Substituant — âxk cîx',on arrive à Téquaiion précédemment obtenue*
]UOUVEMENT DE DEUX POIKTS ASSUJETTIS A DEMEUBEA SUR DEUX COURBES DONNÉES ET DONT LA DISTANCE EST INVARIABLE.
511. Voici un problème propre à bien faire comprendre Tusage des fonctions X, u, v,..., introduites dans les équations du mouvement pour opérer une élimination.
Soient m et n/ deux points matériels sollicités par Fig. i56. deux forces P et P', constantes
"r ou variables. Ces deux points sont assujettis à rester à une distance constante mm' = l Tun de r autre et à demeurer séparément sur deux courbes données 7/1 A et m'A'. On suppose, pour plus de simplicité,
laO COURS DE MÉCANIQUE.
les forces et les courbes comprises dans un même plia xOy.
Prenons, dans ce plan, des axes rectangulaires Ox, Oj. Soient X, Y, X', Y' les composantes., parallèles i ces axes, des forces P et P'. D'après le principe de d'Alembert et en conservant les notations habituellies, Téquation du mouvement sera
df
Soient
les équations des courbes m A et m' S!. On aura les trois équations de condition
Le système est, comme on voie, â liaisons compléta. Ces premières équations donnent
df ^ df ^
X^x^^af)
Multiplions les équations (4) par trois facteurs indéto^ minés \ X',fÀ, puis ajoutons-les avec l'équation (i). Égalons ensuite à zéro les coefficients de îx, àj^ îx', d/»
TBEHTE-RUITIÈME LVÇOH. 121
COQS aurons
dt^ dr' ^ l
</r» dy l
"* dc-- • d/
Ces équations font voir que les points m et iri' se mou- ▼raient comme des points libres, si Ton appliquait au point m deux nouvelles forces dont les composantes parallèles aux axes fussent égales respectiven^nt à
df df x^x' y-r\ et au point m' deux forces dont les composantes fussent
dx"' dy
df df
^^ ^^ ^^ ^^ ^^^^ '^^ composantes d'une force égale i
li/f^l -h (^) ®^ normale i la courbe m A. Cette
force est égale et contraire à la pression que supporte la courbe m A dans le mouvement du point m.
Pareillement f* - — j-^ » (i- — — — sont les composantes
d*une force dirigée suivant mm' et dont Tintensité est fx.
Les mêmes remarques s'appliquent au point m'.
Les deux forces égales et contraires dirigées suivant mm' expriment les actions que les deux points m, m' exercent Tun sur Tauire par le moyen du lien mm' : chacune de ces forces est égale â la tension ou pression qu'éprouve ce lien.
laa conns de mécanique.
On éliminera X, 7/, fji, /ji' en multipliant les équations (5) par dx^ dy^ dx\ dj\ les ajoutant et en tyint égard aux équations (3), il viendra
m — TT- dx-^ m — rr dy -h m —j^ dx' -f- m —j^ df
dt^ '^ • ' dfi "-^ €ie
= Hdx ^- Ydy -f- X'd^ 4- Y'dy' ,
équation qui revient à remplacer dans Téquatioii (i) i^t ^Ji ^x'i àj' par dx^ dy^ dx'^ dy'.
TaBNTE-ABUVlÈME LEÇOIV. 1^3
TRENTE-NEUVIÈME LEÇON
