MOMENTS D'INERTIE

Définitions. — Moments dMnertie d*uii parallélipipède rectangle. — Ellipsoïde. — Solides de réTolution. — Relation entro les moments d'inertie d'on corps par rapport à des axes parallèles, — par rapport à des axes qui passent par le même point.

DÉF1IIITI0N8.

S12. On appelle moment d^ inertie (Tun point matériel par rapport i un axe le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance à Taxe.

î!13. Le moment d'inertie d'un système de points matériels dont la forme est invariable, par rapport à un axe, est la somme des moments d'inertie de tous ces points par rapport à cet axe. Ainsi m^ m\ m!\ . . . , étant les masses des molécules et r, r', /•'', . . . , leurs distances respectives à l'axe, le moment d'inertie du système sera

Nous le désignerons ordinairement par Yémr'^,

514. Les points matériels qui composent un corps n'y sont pas répandus d'une manière continue : on sait, au contraire, qu'ils sont séparés entre eux^par des espaces vides qu'on appelle des pores. Cependant on peut dans chaque cas obtenir le moment d'inertie, en supposant la masse distribuée d'une manière continue dans le corps. Cela revient â prendre, au lieu de Smr^y Tintégrale définie de r^dm^ pour toute l'étendue du corps, et, comme on l'a vu eu Statique à Toceasion des

1^4 COUKS DE 1IÉCAKIQ13B.

centres de gravité des corps solides, les résultats de ces deux hypothèses diifèrent très- peu, pourvu que les pont soient extrêmement petits relativement au volume detoot le corps. Il suffira donc de décomposer le corps en une infinité d'éléments infiniment petits; on prendra le moment d'inertie d*un élément quelconque, et Ton anri celui du corps par des intégrations.

Fig. 157.

MOMENTS d'inertie d'uN PABALI^ÉLIPIPÈDE RECTÂNGLB.

515. Soit AE un parallélipîpède rectangle, et proposons-nous do trouver ses moments par rapport aux trois

arêtes contiguës OA, OB, OC.

Soit m (x, ^, z) un point qni*lconque de ce solide. L'élctiK*nt qui correspond à ce point est un parallélipipède mm' infiainient petit dont le volume est dx dydz et la m^i^sQ pdidjdz^ p étant la densité de ce corps que nous supposons constante dans toute son étendue. La distance du point m k l'axe O2 est ^.r*-r^r*. Donc le moment d'inertie de cet élément par rapport a Oz est

(x^'r-r^)pdxffxdz, et, par suite, le moment du parai lélipipèJe est

p J j f (^'^X')dxdydz.

Cette intégrale triple doit s^étendre à toutes les yaleors positives de x, jr, z respectivement plus petites que a, i, c ou que les longueurs OA , OB, OC des arêtes da parallélipipide.

Comme z n^entre que par sa différentielle sous le signe d'intégration, il parait plus simple de commencer 1 inté-

TRBKTE-IMBUVlliME LEÇON. 1^5

grer par rapport à cette variable entre les limites o et c, ce qui donne

On intâgre ensuite par rapport 1 / depuis j = o jusqu'à y = b et enfin par rapport à x, de x = o à x = a. On trouve ainsi

pour le moment d'inertie du parallëlipipède. En appelant M la masse du corps, on a M = pabc. L'expression pré-

oédente sera donc -r- (a'+ &*)• La même chose se dira

des autres axes, en sorte que les moments d'inertie du parallëlipipède par rapport aux axes Ox, OjTj Os son

Si Ton suppose on aura

el Ton voit que, des trois moments d*inertie, le plus grand correspond à la plus petite arête et le plus petit à la plus grande.

ellipsoïde homogèbe.