D'UN AXE

Elllptorde central. — Axes principaaz. ^ Relation entre les axes principaax relatifs à différente points. ~ Lieu des points dont les moments principaux sont égaux. — Rotation d'un corpe autour d'un axe fixe.

ELLIPSOÏDE CEUTEAL.

S24. On peat représenter par la construction géométrique suivante la relation qui existe entre les moments dlnerde piis par rapport à différents axes concourants.

Sur la droite 01 [J^g* i6o, p. iSs) prenons 'une longueur ON = — = • Sur une autre droite OF prenons égale-

ment une longueur ON' == -=9 /l' étant le moment d'i-

nertie du système par rapport à OF. Concevons qu*on ait fait la même construction pour toutes les droites menées par le point O. Quand on connaîtra le lieu des points N, M', • • • > on aura le moment d'inertie par rapport a tout axe donné en élevant au carré Finverse de la'porlion de cet axe compris entre le point O et le lieu des points N. Soient X, Y, Z les coordonnées du point N. On a

c'est-à-dire

CDSarrrXy^, COSS^Y^^, COS7 = Z ^.

Portant ces valeurs dans Téquation (7) du n^ 523 et

l36 COURS DE MÉCÀEfTQUB.

supprimant le facteur commun (Xy on a

(i) AX» -h BT»-+- CZ» — 2DYZ — aEXZ — 2FXY= o-

Or ce lien géométrique est un ellipsoïde puisqne cette équation représente une surface du second degré ayant le centre pour origine et que le rayon vecteur mené

par le centre et égal à --= est toujours réel et fini^ car la

Vf*

quantité /x = \ mr* est finie et positive.

AXES PRIirCIPÀUX.

525. On peut choisir les axes coordonnés tels, que les rectangles de l'équation (i) disparaissent, en les prenant dirigés suivant les axes principaux de l'ellipsoïde. On a dans ce cas, d'après les valeurs de D, E, F (523),

\ mjrzz=io, N morz = o, \ mxx = o.

Ces trois axes sont appelés les axes principaux tTinertie du système relatifs au point O, et les moments d'inertie correspondants sont dits moments principaux.

526. Le système des axes principaux est unique, a moins que l'ellipsoïde ne soit de révolution ou n^ait deni de ses axes égaux. Dans ce cas l'axe de révolution et deu diamètres perpendiculaires entre eux et à cet axe forment un système d'axes principaux. Il y en a alors une inSuité. On en trouve encore un nombre infini si les trcns axes principaux de l'ellipsoïde sont égaux entre eux. Dans ce cas l'ellipsoïde devient une sphère; on a A = B = C,e( trois diamètres quelconques perpendiculaires entre eux

sont des axes principaux, pour lesquelsN mjz^y mxs^ \ mxy ou D, E, F sont toujours nulles. De plus, les

QUARANTIEME LRÇOir, tij

moments d^inerde par rapport à ces axes soat ëgaax. Cest ce qu'on peut yérifier en faisant dans la valeur générale de fjL (523) l'hypothèse actuelle :

D = o, E=:o, F = o, A=B = Cjj

ce qui donne

ft = A (G06*a -f- 008*6 -f- cos'y) = A.

Ainsi la valeur de fi est indépendante des angles a, 6, 7, c'est-à-dire de la direction 01.