A DIFFÉRENTS POINTS
529. Les axes principaux relatifs à un point quel' conque (Tun corps sont parallèles aux axes principaux relatifs au centre de gravité de ce corps lorsque la droite qui joint le premier point au second est un axe principal relatif au second.
Soient O le centre de gravité d'un système de points et Ox, OjTj Oz les axes principaux relatifs à ce point. Par un point O' de l'axe Oz menons O' x\ O'j' parallèles a Ox et à Oj. Je dis que O' z, O' x\ O'y' sont les axn principaux du système relatifs au point O'.
Soit M un point du système ayant Xjjy z pour coordonnées par rapport aux axes Ox, Ojr^ Oz^ etx'jjr\ s' par rapport aux axes O' x', O'jr'j O' z\ Puisque les premiers axes Ox, O^, Oz sont des axes principaux par rapport au centre de gravité, on a
\ mxz=zOy \ 01X3 = o, \ nutx^=o. Mais, si Ton suppose le point O' situé sur l'axe des j i
QUAAAHTliMB LEÇON. iSq
une distance h du point O, on a
donc on a d'abord
N mx* y' =1 \ mxx' = o;
ensoite
MaîsN myz est nul par hypothèse et\ my également, puisque le point O est le centre de gravité du système : donc \ mj' z' est nul, et O' y est un axe principal relativement à O'. On démontrerait de même que O^ x' est an axe principal relatif au même point.
POIBTS POUR LESQUELS LES MOMENTS PRINCIPAUX u'iNERTIB
d'un CORPS SONT ÉGAUX.
S30. Problème. — Quel est le point d*un corps pour lequel les trois moments principaux et par suite tous les moments relatifs à des axes quelconques passant parce point sont égaux entre eux?
Prenons pour axes coordonnés Ox, 0^, Oz^ les trois axes principaux relatifs au centre de gravité du système donné. Soient a, 6, y les coordonnées d'un point O'remplissant la condition exigée. Alors trois axes rectangulaires quelconques ayant le point 0' pour origine seront des axes principaux du système; Donc si Ton prend trois axes O'x^, O^y, O' z' parallèles aux premiers, on aura
\ my' «' = o, \ mx* «' = o, \ mx'y' = o; maïs on a
l40 COUES DE MÉCINIQUB.
et, puisque les axes primitifs sont des axes prindpaiiXi \ mjrz = o, \ mxz = o, \ mxx = o,
Tëquation \ mx'y = o revient à
ou bien
\ mxy — <5 \ mx — a \ my -h «^ \ m = o. Mais \ mxy^ \ mx, \ m^ sont nulles; donc
a6 = Oy
ei Ton trouverait de même
Il résulte de là que deux des trois inconnues a, 6, 7 doivent être nulles. Supposons que ce soient 6 et 7. Alors le point O' est sur Taxe Ox.
S3I . Jusqu'à présent nous avons exprimé que les axei principaux relatifs au point O' sont parallèles aux axes Ox, Ojr^ Qz.W faut exprimer que les moments correspondants aux nouveaux axes sont égaux. Or, d'après os théorème démontré (522), ces moments sont
A, B-f-Ma», C-I-Ma>;
on doit donc avoir
A = B-f-Ma» = C-4-Ma»;
QUAfiAUTlfelIE LEÇON. l4l
et ensuite
« = dzy/
ce qui exige que Ton ait A^ B. Il faut que Tellipsoïde relatif au point O soit de révolution autour de son petit ixe, actuellement dirigé suivant Taxe des x et auquel se rapporte le moment A. Il existe alors deux points O' et 0| , symétriques par rapport au point O et situés à une
listance de ce point égale à l/
M S32. Prenons pour exemple Tellipsoïdey
fl» 0^ c*
[)n a VU (518) que, M étant la masse de cet ellipsoïde, les moments par rapport aux axes sont
A=iM(6»+c»), B==iM(a»-hc'), C = ^ M (a» 4- 6').
Dr le centre de Tellipsoïde est son centre de gravité et ict axes sont les axes principaux d'inertie; car on a évilemment pour ce point
\ mxx = Oy \ mxzzzzoj \ mjrz = o.
Supposons a<^bj alors A^B, et pour qu'il existe un point O', il faut qu'on ait B=:C, c'est-à-dire b = c. Donc l'ellipsoïde doit être de révolution autour de l'axe OA. U y aura donc deux points répondant à laques-
l44 C0UB8 DE MÉCAHIQTJBi
et, par conséquent,
dtA
ifir'
Cette équation détermine la vitesse angnlaire i une époque quelconque. C'est Téquation du mouvement. On en déduit que si les forces motrices sont nulles, on t
--- = o ou 0) = constante. Le mouvement est donc nmdt
forme.
Il est encore uniforme quand les forces se font équilibre autour de Taxe; car on a dans ce cas\ Q^ = o,
et comme \ rrir^ n*est pas nulle, on aura — = o , et la vitesse angulaire o) sera constante.
QOA1lA^TB KT UNIEME LEÇON.
QUARANTE ET UNIÈME LEÇON
MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D'UN AXE (suite).
Gat où le corps est mis en mcayement par des percussions. -« Calcnl dea pereossions exercées sur l*axe fixe. — Cas où Taxe n'éprouye aucune pereussion. — Condition ponr qu'il n*y ait de percnstion qu*en an point de Taxe.
CAS OU LE CORPS EST MIS EN MOUVEBfEUT PlU DES
