X, -hX, = o
et les équations des moments
Y.A-Z6H-Jm(^*-4) =
XÔ— Ya+
ZTVdi-'
54S. On peut transformer ces équations. En remirquant d'abord que z est constante, puisque chaque poiat décrit un cercle parallèle au plan des jrr, on a
dz
dt
Déplus, en désignant par 9 Tangle que mK fait avec nue parallèle à Taxe des x menée par le point R, on a
ar = rcosO, ^=rsin0,
d'où Ton déduit
dx dy
puisque — n'est autre chose que la vitesse angulaire».
QUAmAHTB BT UMlilMB LEÇOIT l5l
(Hi aura donc
dy S^
jTi et jTf désignant les coordonnées du centre de gravité da corps entier, et M la masse totale du système. D'après cela, les équations d'équilibre deviennent
(4) T — «Mx, H- y, -f. Y, = o,
(5) Z4-Z, -+-Za=o;
(6) Yih — Z6 — » V nur^ == o,
(7) Za — XaA — «>\ mxz = Of
(8) X€ — Y« -h »\ mr' = o.
La dernière, équation, ne contenant pas les composantes des résistances aux points O et H, sera Téquation du mou- Tement, c'est-à-dire qu'elle déterminera la vitesse angulaire CA. On en tire
Ta — X6
et cette valeur de tù s'accorde avec la formule
en désignant par i^ la projection de la vitesse Y sur un plan perpendiculaire à Taxe. En effet jii^est le moment par rapport à l'axe Oz de la percussion appliquée au corps, au point du plan xOj qui a pour coordonnées
l5a COURS DB MÉCàiriQUB*
a, 6, et Ton sait que ce moment est aussi représeoté pir
543. Les équations (6) et (7) déterminent Xt et Yf Les équations (3) et (4) feront ensuite connaître Xi et Tf L'équation (5) donnera là somme Zi -4*-Zs. On se peut pas . déterminer séparément Zi et Zt, parce qoe ces deux forces agissent suivant la même droite Oz et se composent en une seule égale à leur somme. Si Ton fiit varier la distance hj les équations (6) et (7) montrent queXt et Y| varient en raison inverse de h,
CONDITIONS POUR QUE L*AXE n'ÉPROUVB AUCUNE PERCUSSION. CENTRE DE PERCUSSION.
544. Proposons -nous maintenant de chercher les conditions qui doivent être remplies pour que l'axe n'éproare aucune percussion. Il faut pour cela que les composantes des résistances soient toutes nulles. Si Ton introduit ces hypothèses dans les cinq premières équations (542), elles deviennent
(i) X4-wMj, = 0,
(2) Y — mMx, r=o,
mjrz =0,
L'équation Z = o exprime que la percussion appliquée à la masse jtA doit agir dans un plan perpendiculaire à Taxe. Les deux dernières expriment que Oz doit ètrt Tun des axes principaux d'inertie relatifs au point O.
545. Pour interpréter les équations (i) et (2), faisons passer le plan des xz par le centre de gravité de tont k
^UARAHTB ET VHIÈMB LBÇOH. lS3
corps ; alors on a
7, = o, ar, = GI = a,
et les deux première! conditîoiis deviennent
X = O9 Y=»Ma,
La première indique que la percussion se réduit k sa composante Y, puisque Ton a dc^jà Z = o, c'est-à-dire que la percussion doit être perpendiculaire au plan zOG qui passe par l'axe et par le centre de gravité du corps. La seconde va nous donner la valeur de f^ c^est-i-dire la plus courte dislance de cette force à l'axe; car on a
et l'équation Y = a>Ma devient d'où
Ma
Soit MA* le moment d'inertie par rapport à un axe mené par le centre de gravité G du corps et parallèle A Oa : on a
et, par conséquent.
S46. En résumé, on a les trois conditions suivantes pour qne l'axe n'éprouve aucune percussion :
x^ La directio4 de la percussion doit être perpendicn-
lS4 COURS DE MÉC4NIQVÈ*
laire au plan qui passe par Taxe fixe et par le centre et gravité du corps.
2^ Cet axe doit être un des axes principaux pour le point où il rencontre le plan qui lui est perpendiculaire et qui contient la force instantanée •
3^ Enfin la distance de cette force i Taxe doit être
A' égale k a-^ «a étant la distance du centre de grafité
du corps à Taxe et Mk* le moment dHnertie du corps relativement à un axe mené par ce centre de gravité parallèlement à Taxe fixe.
547. On appelle centre de percussion le point auquel la percussion doit être appliquée dans le plan passant par l'axe et le centre de gravité pour qu'il n'y ait pas d'effort
exercé sur l'axe fixe : la distance du centre de percussion
à l'axe fixe est a H •
Si l'axe passait par le centre de gravité, il éprouverait toujours une percussion. En effet, pour qu'il n'y ait pas d'efibrt exercé sur l'axe, la percussion appliquée au corpi doit être égale à tùMa (545). Elle doit donc être nulle si a est nulle, c'est-i-dire si l'axe passe par le centre de gravité du corps : mais aIorsy*= oo . Le centre de percussion serait donc à l'infini.
548. Réciproquement, si le corps est en mouvemrat autour de l'axe, on pourra l'arrêter brusquement saus qu'il existe aucune percussion contre l'axe en appliquant au* centre de percussion une force instantanée égales «Ma, perpendiculaire au plan mené par l'axe et par le centre de gravité du corps.
coNoiTion POUR qu'il h'y ait ue percussion qu'eu ub
POIHT DE l'axe.
549. Si ce point est le point H, il faut que Xj, Y|, Zi« composantes de la quantité de mouvement due à la force
QUARANTE ET VNlkMB LEÇOH. lS5
appliquée au point O, soient nulles, ce qui donne, en supposant j^i = o, Xt = a,
X, = — X, Y,:::^ — Y -ha>M<i, Z, = — Z :
puis,
et si Z = o,
Ya — Xg f*p/
wE wD
Mû — Y X
en posant
I)=i\mjrz, E— V
mxz.
L'équation de condition est donc
DYH-EX=«>Mfl.
Si en même temps D et E sont nulles, c*est-&-dire si Os est un axe principal dMnertie pour le point O, on a A= o et la percussion est appliquée au point O.
l56 COURS DE MÉCàKIQXIB
QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON
ROTATION D'UN œRPS AUTOUR D'UN AXE (suitb).
Rotation d*aii corpft sollicité par des forées quelconques. — Pressions sur Taxe. — Cas où il n'y a pas de forces motrices. — Ctfs où les foreei motrices se réduisent à un couple dans un plan perpendiculaire à l'axe. — Moutement da treuil.
ROTATION d'un CORPS SOLLICITÉ PAR DES FORCES
