PRESSIONS SUR L AXE

551 . On pourra considérer le corps comme entièrement libre, pourvu qu'on applique â deux points qudconques O et H, pris sur l'axe, deux forces Ri(Xi, T|,Zt) et Ri (Xi, Ts,Zs), égales et contraires aux pressions exercées sur ces deux points à chaque instant dumouvemenl. On aura donc, en posant OH = A, les six équations

-4-X,-hXi = o,

552. On simplifie ces équations en y introduisant les dérivées de od. D'abord z étant une constante, on a

On a ensuite

dF='-^''' di^'"''^

db»

— y-, w ~- ou —

•^ dt dt dO

dvk

-^dF

xoi'

d^y dtù dx

di^ 'f* ^ w/

d^y df»

di^ dt -^

Si Ton porte ces valeurs dans les six équations qui pré-

QUABA.NTB-DBOXIÈMB LEÇON. iSp

cèdent, on aura, en désignant par (:t:i, j^i, Zi) les coordonnées da centre de gravité du système et par M sa masse,

> X -f- — Mj,-h »»Mx, H- X, -h X, = o,

> Y -h -^Mx,-i-(^Mj^,4-y, -f-T, = o,

\ Z -i-Z,-hZ,=:0,

\ (Z^ — Y«) -+- -^ \mxz -f- **' /^'wr» — Y,^ = o,

\ (Xz -— Zx) H- -7- ^ '»/» — *>'^ ''**« -*- Xi A r::= o,

553. De ces six équations, la dernière ne contient pas les composantes des résistances Ri etR|. C'est Féquation du mouvement déjà trouvée.

Quand on saura intégrer cette équation , les équations 4* et 5' du système (3) feront connaître Xs et T,, dont les valeurs sont, comme on voit, en raison inverse de A. La raison en est que X^ h elY^h sont les moments des couples qui résulteraient de la translation, au point O, des composantes Xs et Yt de la force Rf. Or ces moments doivent être indépendants de la position du point H, puisque chacun de ces couples doit détruire d'autres couples qui en sont eux-mêmes indépendants. Les composantes Xj et Y, étant connues, on aura Xj et Y^ par les deux premières équations du système, et la suivante donnera Z| + Z^ sans déterminer en particulier aucune de ces composantes. En effet, comme on Fa vu ailleurs, au lieu d'appliquer les deux forces Zi et Zj aux deux points O et H, il revient au même d'appliquer la force unique Zj -+- Z, au point O.

lt5o COURS DB MÉCAKIQDS.

CAS OU IL n'y ▲ PAS DB FORCES 1COTBICB8.

554. Dans le cas eu il n*y a pas de forces motriees, X, Y, Z sont nulles pour tous les points du corps, et Té-

quation (a) du n^ 550 donne — = o, ^ t ot> = const., ce

que Ton sait déjà. Le système (3) se réduit alors à

A| ^ — -7- > mxz y T, = -Ç^mrs, Xi = -7- > 'wx» — «** Mjr,y

Y, = ^ Zj'"'^* "" ^'^y Z, -+-Z, = o.

Cette dernière équation montre que les résistances Ri et Rt se réduisent à deux forces perpendiculaires à Taxe, puisque leurs composantes parallèles à cet axe donnent une somme nulle.

Il est aisé de voir que les résistances Ri et Rt font équilibre aux forces centrifuges de tous les points dn corps qui agissent sur Taxe perpendiculairement i sa direction. La force tangentielle est nulle pour chaque point. D'après les formules (i), les résistances sont proportionnelles au carré de la vitesse constante o).

555. Le point H n'éprouve aucune pression si XiCt Y| sont nulles, et pour cela il faut et il suffit qu'on ait les deux conditions

(2) \ mxz=zo, \ mj«=ro,

c'est-à-dire que l'axe 0« soit un des axes principaux relatifs au point O. Donc, si un corps retenu par un seul

QUABÀHTE- DEUXIÈME LEÇON. l6l

point fixe commence à tourner autour d^un des axes principaux relatifs à ce point^ il continuera à tourner uniformément autour de cet axe comme s^il étak fixe. Le système (i) donne encore

X, = — w*Mx,, Yi = — w'Mji :

donc

R, .= ft>'Ma,

a étant la distance du centre de gravité à Taxe. On a de plus

ce qui fait voir que la force Ri ou la pression sur le point O est dirigée dans le plan 2OG qui passe par Taxe Or et par le centre de gravité G. C'est ce qu'on trouverait aussi en prenant ce plan pour le plan zOx à l'instant que l'on considère.

556. Il peut se faire que le point O ne supporte aucune pression. Alors Taxe n'en éprouve aucune. Il faut et il suflBt pour cela que Xi et Yi soient nulles, et par conséquent que Xi eljx soient nulles. Ainsi le centre de gravité doit être sur l'axe de rotation, et alors le mouvement ayant commencé autour de cet axe, supposé fixe, continuera uniformément autour du même axe lorsqu'on le rendra entièrement libre. L'axe de rotation est alors un axe principal pour tous les points de sa direction.

CAS ou LES FORCES MOTRICES SE RÉDUISEHT A UN COUPLE.

557. Les conséquences précédentes subsistent quand les forces motrices se réduisent à un couple situé dans un plan perpendiculaire à l'axe. On a dans ce cas

y (Zj- — Yz) = o , V {Hz — Zx) = o. Stukm. — Méc., II. 1 1

l6a COURS DE MÉCAlflQUE.

Pour que le point H n*éprouve aucune pression, îl faut que Ton ait X, = o, ¥, = 0, Zs = o. Les équaUoos 4"" et 5* du système (3), n^' 551, donnent

En éliminant entre ces deux éciuations — » on a wM f \ mxzj -^ [/ "^xA \=o

\ mxz = o , \ myz = o«

Ainsi l'axe de rotation doit être un des trois axes principaux d'inertie relatifs au point O. Alors les trois premières équations du système (3) feront connaître les composaates Xi, Yi, Zi de la pression exercée siur le point O, pression perpendiculaire à Taxe, car Zi = 0. Si à une époque quelconque cet axe cesse d'être fixe et que le corps soit seulement retenu par le point O, il continuera à tourner uniformément autour du même axe.

558. Pour que le point 0 ne soit pas pressé, il hxA que Xi, Yi, Zi soient nulles. Alors les deux premières équations du système (3) , n^ 552, donnent

d^ dû»

ri -^ 4- »*^i =0, "■ •*' w7 "^ ••^« == ^f

d'où, en éliminant -7-9

' dt

on a donc

*i = o> ri = o

QUARAlITE-DEUXlfeME LEÇON. l63

et le centre de gravité est sur Taxe 0«, qni est un des axes principaux pour ce point, et par suite pour tous les points de cet axe. Donc si un corps commence à tourner autour de Vun des axes principaux qui se rapportent à son centre de gravité et qud soit sollicité constamment par un couple situé dans un plan perpendiculaire à cet axe, son mouvement se continuera sans altération, lors même que cet axe serait entièrement libre.

On voit que le système jouit des mêmes propriétés que dans le cas où il n'y a pas de forces motrices.

559. Si O^ n'était pas l'un des axes principaux relatifs au point O, ce point étant seul fixé, la pression au point H ne serait jamais nulle, et le corps ne continuerait pas à tourner autour de Oz. On voit par là qu'un corps retenu par un point fixe O et sollicité par un couple ne tend pas à tourner autour d'une perpendiculaire Oz au plan de ce couple, à moins que cette perpendiculaire ne soit l'un des axes principaux relatifs au point O.

HOUVEMEIfT DU TREUIL.

560. Considérons un treuil sollicité par le poids de deux masses m et m' agissant au moyen de cordes, la

Fie. i65. première sur la roue OC, la seconde sur le cylindre OC'. Nous tiendrons compte de la masse du treuil; mais nous négligerons le poids des cordes et le frottement des tourillons sur les coussinets. Soient x et 3cf les distances des centres de gravité des masses m et m' aux points C et C.

D'après le principe de d'Alembert, nous devrons regarder deux forces respectivement égales à mi g '\

l64 COVES DE MÉCANIQUE.

ni [g -jY' ) » comme appliquées en m et en m sm-

Yant la verticale et tirant de haut en bas. Ce sont lef forces perdues relatives à ces deux points.

Considérons une molécule du treuil, de masse p, à mK distance rde Paxe. Si co est à Tépoque actuelle la vitesse angulaire du système, la force effective du point fi se

compose de sa force tangentielle fxr — et de sa force 'centripète jxHci) qu^il faut prendra toutes deux en sens contraire. Mais la force centripète perpendiculaire à Taxe fixe est détruite par la résistance de cet axe. Le poids do treuil est aussi détruit, parce que son centre de gravité se trouve sur Taxe fixe^ a cause de la symétrie du treiûl autour de son axe.

Donc, si nous faisons OC = c, OC'=c', et si nous exprimons que la somme des moments par rapport à Taxe des forces motrices du système et des forces effecti?» prises en sens contraires est nulle, nous aurons, d^apris le sens suivant lequel les forces tendent a faire mouvoir leurs points d'application,

5B1 • Les dérivées des deux variables x et x' peuvent être exprimées au moyen de la vitesse angulaire. En effet, d'après le sens du mouvement, la vitesse du point m est égale à celle du point C; mais la vitesse du point m' est égale et de sens contraire à celle du point C^ On aura donc

dt ^ dt *

et, par suite,

'dF'~'^'dt^ 'dF'^'^ It

QUARAITTE-DEVXlèMB LEÇON. l65

Désignons par MA* le moment d'inertie du treuil par rapport à Taxe, M étant la masse du treuil. L'écpation du mouvement (i) deviendra

(a) «c(^-.^)mv(ff + C^)-^M*'=o,

d^où Ton tire

"ST ~" MX» 4- me» -4- m'e'*^ d*où Ton déduit, en supposant la vitesse initiale nulle ,

^^ ** MA>-+- me» -f /»'<:'»*

La vitesse est donc proportionnelle an temps, et le mouvement est uniformément accéléré. L'accélération est k la pesanteur comme me — m'c' est k MA* -h me* -f- m' c'*.

Si Ton avait me = m'e', la vitesse angulaire serait uulle et le corps resterait en repos. En effet, c'est la condition pour que les poids m et m' se fassent équilibre. S'il y avait une vitesse initiale, le mouvement serait uniforme.

562. Les tensions des cordons ne sont autre chose que les forces perdues. Appelons-les T et T', nous aurons

Remplaçons — par sa valeur tirée de Péquation (a),

puis introduisons à la place des masses m, m' et M les poids correspondants que nous désignerons parp , p' et P.

l66 COURS DE MÉCAlflQIIB.

Nous aurons

pc{pc—p'</)

p'c^ipc-^p'c^)

^A^-hpc^-hp'c^

Si le système tourne dans le sens indique par la figure, on a ^c >• p'c'^ puisque a> est plus grand que zéro. On a dans ce cas T <[ ;?, T' ^ p\ Ces teusions sont constantes pendant le mouvement.

563. La pression totale xs exercée sur Taxe du treuil résulte des forces qui se font équilibre autour de lui en j comprenant le poids du treuil. Les forces centrifuges des points du treuil se détruisent mutuellement et ne pressent pas l'axe à cause de la symétrie. On a donc

(pe^p'e'Y

CT=:P-f/>-f-/?' —

Pk^-hpf-^p'c'^

564. On peut déterminer le mouvement du treuil sans recourir au principe de d'Alembert, mais en introduisant les tensions T et T^ Il sufGt d'éliminer T et T' entre lo équations (4) et la suivante :

dtù

^m*.=5;qç

^ MX' = Te — TV, de '

donnée par la théorie du mouvement de rotation autooi d'un axe fixe. On retombe ainsi sur l'équation (2).

QUÀVàlTTE-TROISlkHE LEÇON.

QUARANTE-TROISIÈME LEÇON