PESDULB COMPOSÉ. — ÉQUATION DU MOUVEMENT
565. On nomme pendule composé un corps qui peut tourner autour d'un axe fixe horizontal.
Prenons Taxe fixe Oz pour axe des z ; pour axe des x fia. 166. "°® horizontale Ox perpendiculaire
à Oz, et pour axe des j une verticale Oj dirigée dans le sens de la pesanteur. L'équation du mouvement sera (550)
(0 èS'"^'=S^"^'-''^^'
X, T, Z désignant les composantes de la force motrice d'un point m (x, j^, z). On a donc
X = o, Y = mgj Z = Oj
et 9 par suite,
\(Yx^'%.y)z=zgSm^ = g^^
if
M étant la masse du corps et Xx Tune des coordon< nées du centre de gravité G.
l68 COURS DE MÉCAIflQrE.
Abaissons GÂ perpendicalaire sur Oz, menons la Yerticale AD et abaissons sur cette droite la perpendiculaire GD. Soit Gi la position initiale de G, c*est-à-dire sa position pour t = o. Posons GA := a^ DAG = 0% DAGi = a;
on a
X, = GD=r asinO.
Par conséquent
\ (Yx — X^) = gMx, == gMa sinO.
D'ailleurs a> = — —9 et si Ton appelle MA* le moment
d'inertie du corps par rapport à un axe passant par le point G et parallèle a O2, on a
Vmr» = M(û»-hX»}.
Substituant ces valeurs dans l'équation (i)y on aura
d*B ga
^ ' dt^ «» H- A»
Cette équation détermine 9 ou le mouvement angulaire du centre de gravité en fonction du temps. Pour l'intégrer on la multiplie par !xdOj et l'on trouve
12 étant la vitesse angulaire initiale.
PEUrnULE COMPOSÉ KAMENÉ AU FER DU LE SIMPLE.
566. Au lieu d'intégrer l'équation (a), il est préférable de comparer le mouvement du corps pesant à celui d'un oendule simple. Si le corps se réduisait k un point maté» riel pesant lié à un axe par une droite rigide dont on né-
QUÀIIANTB-TBOISIÈME LEÇON. 169
glige la massé et de longueur /, Téqualion du mouvement serait
qui se déduit de Téquation
en faisant X> = o, a = /. Supposons la longueur / déterminée par Féquation
go __g
Alors le pendule composé ou plutôt la droite AG et le pendule simple auront le même mouvement angulaire,
pourvu que les valeurs initiales de 0 et de — soient les
mêmes pour ces deux corps. Ainsi, lorsqu'un corps tourne autour d'un axe fixe et horizontal) on peut toujours assigner la longueur d^un pendule simple dont le mouvement soit le même que celui du corps, quelle que soit d'ailleurs Tamplitude des oscillations. Si celles-ci sont très-petites, la durée d'une oscillation sera donnée par la formule
=Vi
qui pourra servir à déterminer g: à l'aide du pendule composé, connaissant seulement la distance du centre de gravité du corps à Taxe de suspension et le moment d'inertie du corps par rapport à un axe parallèle à l'axe de suspension mené par le centre de gravité.
lyo
COURS DE MéCAHIQUB
AXB D OSCILLAT lOir.
867. Si dans le plan pensant par ttuce et par le centre de grainté du pendule on mène une droite IBI' paraUUe
à cet axe et à une distance de celui-ci égale à I, chaque peint de cette droite se moui^ra comme s'il ne faisait pas partie du corps et quUl fût simplement lié à Taxe par une droite rigide et sans niasse.
Cette propriété résulte immédiatement de Tidentitéda mouvement du pendule composé et d'un pendule simple dont la longueur est /. Il n'en est pas de même des autres points du corps plus rapprochés et plus éloignés de Taxe. Ces derniers oscillent plus vite et les premiers oscillent plus lentement que s'ils n'étaient pas liés aux aotrei points du corps.
La droite IBI' est nommée Vaxe d'* oscillation du corps, correspondant à Taxe de suspension Oz. Le point B de cette droite situé sur la droite AG perpendiculaire i Taxe de rotation se nomme centre d'oscillation. On Tobtient
en prolongeant ÂG d'une longueur égale â — 9
568. Les axes d'oscillation et de suspension sont réciproqueSj c'est-à-dire que si Ton faisait osciller le corps autourden',raxe de suspension primitif Oz deviendrait Taxe d'oscillation. En eOet, les distances du centre de gravité à l'axe de suspension et à l'axe d'oscillation don* nent un produit égal à Ar*. Donc si Ton prend cette dernière ligne droite pour axe fixe, la première deviendra l'axe d'oscillation. La longueur du pendule simple, qui fait ses oscillations dans le même temps, sera la mèine qu'auparavant et son mouvement sera le même.
QUARANTE-TEOISIEHB IXÇOll. I7I
569. D'après ce principe, ëunt donné Taxe de suspension d*an corps, on peut trouver, par Texpérience, l'axe d'oscillation correspondant. 11 faut, pour cela, mesurer la durée des petites oscillations d'abord autour du premier, puis autour de dîflérents autres axes parallèles, jusqu'à ce que le temps de ces oscillations soit de nouveau le même. La distance des deux axes de suspension sera la longueur désignée par / et fera connaître l'axe d'oscillation relatif au premier axe de suspension.
570. Il y a une infinité d^axes autour desquels les petites oscillations sont de même durée.
D'abord la valeur de / et la durée des oscillations sont les mêmes pour tous les axes de suspension parallèles entre eux et situés k égale distance du centre de^gravité, puisque A et a sont les mêmes pour tous ces axes.
EInsuite, nommons A, 6, C les trois moments d'inertie principaux relatifs au centre de gravité G, et appelons «, 6, y les angles que Oz fait avec les axes principaux du point G. Le moment d'inertie par rapporta GH, droite parallèle a O^, éunt représenté par MA', on a
M A* = A cos*a 4- B cos*6 -+- C cos*7 ,
et par conséquent
A cos*a -f- B cos*6 -h C cos^v Izzza -\ Î-.
On peut faire varier a, a, 6, y de manière que / reste constante. Il y a donc une infinité d'axes autour desquels la durée des petites oscillations est la même.
