Si le pendule s'ëcarte peu de la verticale, on a
Il et I/o étant très-peti(s, ainsi que h^.
On a donc à peu près N = g^, et les deux premières équations du mouvement deviennent
df
dt*
Elles donnent, en désignant par a et 6 des constantes, ou, si Ton pose p = i/y>
ar = acoSfil| /=SsiDfir;
d*où Ton déduit
La projection horizontale de la courbe décrite est donc
quàeautb-cihquièmb leçoh. 189
une ellipse. On a
(3) tang^f = - tangfAi.
La durée de la demi-révolution est - ou
- ir i /- > c'est-
i-dire égale à celle d*un pendule de même longueur qui oscillerait dans un plan vertical.
590. La projection du pendule sur nn plan horizontal décrira encore à très-peu près une ellipse si Tangle que le pendule fait avec la verticale varie très-peu , ou en d* autres termes si les valeurs a et 6 entre lesquelles z reste comprise (581), diflèrent peu Tune de Pautre; car alors N sera à peu près constante. En effet, si z restait égale à
la constante at, 1 équation — H — g = o donnerait
N = ^ • On conçoit que si z diffère peu de Ar, la valeur
al
de N sera à peu près constante et égale à —-• Mais on peut le voir de la manière suivante : on a
on a trouvé
^. — «• = TTTk
donc
gl 2/* — 2a* — 2^' — ^ab\
" = 7V^'+ JTé j
g[ ^n ^ 3a'-|-3^'— <»'— ^'-hî/ï*
igo COUE8 DE MÉCANIQUE.
et, en négligeant z — a, z — 6, (a — i)*,
De là résulte
IF
f. = o, ^-^fr = o.
Ces équations ont la même forme que les équations (i). On en conclut que la projection horizontale du pendule décrit une ellipse et que la durée de la demi-réTolutiim
est TT i/-» valeur moindre que ir l/--
MOUVEMENT D UNE TIGE PESANTE TOURHÀHT ÀHTOUE d'dN DE SES POINTS QUI EST FIXE.
591 . En désignant par x\ y\ z' les coordonnées d'un point quelconque m de la tige, considérée comme une ligne droite pesante, on a par le principe de d'Alembert
sr
mg
fit*
Prenons sur la tige un point L dont la distance au point fixe O soit / et soient a:, j^ z ses coordonnées. Eln désignant par u la distance O///, on a
tu
et l'équation (i) devient
dH
dt'
dt
do
gl\mu
QUAEAllTE*ClirQUIÈMB LBÇ09. IQI
OU
en posant
mu = M/i, \ ma»= M(a»-h Â*),
a étant la distance du point O au centre de gravité de la tige pesante, M la masse et MA' le moment d'inertie de cette tige par rapport à ce même centre de gravité. On a la condition
qui donne
En multipliant cette équation par X et ajoutant Téqua* tien (3), on trouve
592. S'il n'y a qu'un seul point pesant p sur la ligne droite, à la distance /, on aN mu^ = fx/*, \ ma = pi/ et
Les équations (6) se réduisent à celles-ci , si Ton sup-
k^ pose l=a-\ Ainsi la tige pesante se meut comme
192 COUliS DE mAcAHIQOB.
le pendule simple, dont la longueur est Z = a H — -Le
point L est le centre d'oscillation. Ce point se meut comme un point libre sollicité par la pesanteur g et par une force accélératrice donc les composantes sont — Xx, — 1^, — Xz. Cette force est dirigée vers le point 0
et son intensité est 1 ^x*+j^*-f- z* ou XL C'est la tension désignée par N. On a N = X/. Il ne faut pas croire que la tension soit constante dans toute Téteudue de la
tige.
