PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT. -^ MOUVEMENT

DU CENTRE DE GRAVITÉ

AamarqueB sur les systèmes de points qui peuTent se mouvoir ooBUBftdsi corps solides. — MouTemeDt du centre de gravité. — Vitesse initiils du centre de graTité d'un système mis en mooTement par des sions. — Conservation du mouTement du oestre de graTÎté.

remauques sur les systèmes de points qui peuyebt se mouvoir comme des corps solides.

897. Considérons un système de points matériels m, m'y wi", ^. . , sollicités rcspeclivement p» des forces P, P'y P'\ . . . , dimt les composantes parallèles aux axes sont X, Yy Z; X', Y'^ Z';.... En vertu du principe de d' A leinbert, si Ton applique au point m des forces parallèles

aux trois axes et égales respectivement à X — m -— ?

Y — m -JY» Z — m — > et aux autres points des forces

analogues, toutes ces forces doivent se faire équilibre an mojen des liaisons du système. Les conditions de cet équilibre sont comprises dans Téquation générale des vitesses' virtuelles; mais on peut parvenir à des propriétés importantes, sans qu'il soit nécessaire d^exprimer toutes ces conditions.

Ainsi Téquilibre existant entre les forces mentionnées, dans le système dont nous étudions le mouvement, il subsistera encore si Ton introduit entre les différents points de nouvelles liaisons telles que Ton voudra, pourvu qu'elles ne soient pas incompatibles avec les conditions

QUAEAriTfi-SIXIÈMB LEÇ09. igIS

donaéea ; on peut supposer, par exemple, que les distances des différent» points du système devienaeBt invariabiea^ si le&liaisMiaaont telles, que les points puissent se déplacer saoas que leurs distances changent. Il en résulte qiàe les forces doivent satisCaiie aux six équalions d'équilibre d'un systeiBe solide, pourvu toutefois qu'après la solidification il n'y ait aucun point fixe ni aucun point assujetti à demeurer soit sur une courbe, soit sur une surface fixe. En lai San t cette restriction, les troi» premières équations d'équilibre donnent

ou bien

598. Pour que le système puisse se déplacer comme un corps solide, c'est-à-dire sans que les distances de ses points varient, il faut et il suffit que chaque équation de condition se réduise à une relation entre les distances de aes différents points. En effet, soit

Lr-i: o

une équation qui doit toujours exister entre les coordonnées x^y, z^ x'. . . et dont le premier membre L est une fonction y* de « et de a:, ^, 2, x', ... . Désignons par p^q^Vy... les 3/1 — 6 dislances des différents points qui doivent rester constantes. On a

p =z y^(x' - X)» -+- (/ — jr/ 4. (i' — 2)«,

196 COURS DE MÉCAIIIQUE.

On peut réduire à six le nombre des coordonnées qui n'aient plus entre elles aucune relation donnée et prendre, par exemple, x,^, z, x'^y' et x" pour ces coordonnées arbitraires et indépendantes. On aura toutes les autres en fonction de celles-là et des quantités p^q^.... Donc chaque équation de condition telle que L = o sera réduite à la forme

L =^APf ^> '•'.••• » '»r> «I ^\ y > ^ ) = o.

Pour un déplacement virtuel quelconque, p, 9, r,. .. restent constants, t ne variant pas, et par conséquent, puisque Téquation L = o doit être satisfaite, quelles que soient a:,^, z, x\y\ x"y ces quantités ne doivent pas entrer dans/*. Donc, en éliminant de Téquation L=o, 3/1 — 6 coordonnées à Taide des équations (a), les six autres doivent disparaître en même temps, et Téquation L = o doit se réduire à une simple relation entre les distances p, ^, r, . . . , ce quHl fallait démontrer.

599. On ferait le même raisonnement en exprimant les Zn coordonnées en fonction des distances p, q^ r,.,., et de six autres quantités qui fixeraient la position arbitraire du système par rapport aux axes fixes : par exemple, les coordonnées a, 6, 7 de Torigine d'un système d'axes O'x', O'y'^O'z' liés au corps solide, et les trois angles cp, ({/, 6, qui déterminent la position de ce nouveau système d'axes par rapport au système des axes Ox, O^, Or, fixes dans l'espace. L'équation L = o prendrait la forme

/(Pt 7» '•»•••>«> ^> 7> î> +> ® ) = o-

Or a^ 6, y, f , (f/, d n'y doivent pas entrer, puisque cette équation doit avoir lieu, quelles que soient les valeun qu'on leur attribue. Donc L se réduit k une fonction de p, 9, r, . . . .

QUAIUNTE-SIXIÈME LEÇ09. I97