PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

641 . Dans le mouvement d'un système de corps pour lequel le principe des forces vives a lieu, si l'on multiplie la vitesse de chaque point du système par sa masse et pir l'élément de sa trajectoire, et qu'on intègre la somme de ces produits depuis une position donnée du système jusqu'à une autre position aussi donnée, la valeur de cctic

intégrale / \ mi^ds est généralement un minimum.

Nous disons généralement, parce qu'il y a exception dans

QTTARAlITE-irEDyiÈME LEÇON. a33

quelques cas particuliers, mais on démontre que dans tous les cas sa variation est nulle*

Supposons que Ton ait, en conservant les notations du n«615,

C=\ mk^ — ^[Oj bj Cj a' . . ,).

Ona

S jm»€is= f^y mvds=z j \ m9pds-\- j \ mvids^

Or

\ m99ds-=:\ mvSpdt == — dg\ ^y,

mais

donc

\mêvds=€it\{liSx'{-Y8j'\-Z9z).

On a ensuite

ou bien

Donc on aura

-i'"Hs+*-^''i-^**''S)

i34 COURS DE IfÉCAlflQirS.

Mais les deuT points extrêmes étant fixes et donnes, ix^ Sy^ d s, . . . • , sont nulles aux deux limites. Donc on a bien

^ I \ mpds= Of

ce qu'il fallait démontrer.

Quand les points mobiles ne sont soumis à ancoDe force, on a

et par suite

et comme l'intégrale I mu^dt = f mi^ds est un minimum,

il en résulte que t — f o ou le temps du trajet est aussi un minimum.

ccir<{VAiiTiiEm ttiçoa.

CINQUANTIÈME LEÇON