D'UN POINT FIXE
Formules relatÎYes an déplacement d^un corps solide. — Axe instantané de rotation. — Détermination de Ta rltesse. — Somme des forces Tires. — Moments daa qaanlltéa do movvement.— Relations entra laa cosliMa a, h, c, et les composantes de la Titesse. — Valeurs de p, ij, r en fonction des angles ^, ^ , 0.
Fig. 173.
FORMULES RELATIVES AU DÉPLACEMENT D*Uir CORPS SOLIDE*
642. ConsidéroDS d'abord en lui-même et indépendamment des forces qui le produisent le mouvement de rotation d'un corps solide autour d*un point fixe O.
Soient Ox, 0/,Oz, trois axes fixes dans Tespace et Oj:i,*Oj^i5 Oti, trois axes liés au corps et tournant avec lui autour du point O..
On a les formules
X=za' xy -f. h' y, -t- c' «„
Les cosinus a, &, c, a\ . • • sont les mêmes à chaque instant pour tous les points du corps, mais varient pendant le mouvement : ce sont des fonctions du temps. Les axes
(*) La plus grande partie de cette Leçon a été publiée par M. Sturm dans les NouvelUt Amnales de MathénuHiijuet, t. X (i85i}, p. 4'9*
a36 COURS DE HÊCA»IQTTB.
étant rectangulaires, on a les relations connues
Ia» -1- o'» -f- a"» == I , ab -^ a'b' -h a^ ù'= o^ b^^b'^-\- b''^=i, ac -^afc' -^arc^zizo^ c» -^ c'* -f- c''» = I , ôc -f- 6V -♦- ft''c^=o,
qui en entraînent d^autres équivalentes ,
(3) û'-f- 6«+ C»=:l, flfl' + 6^'-4-Cc'=0,. . . .
643. Les composantes de la vitesse v du point m parallèles aux axes fixes, ou les projections de cette vitesse sur les axes, sont
dx dt
da lit
-t-ri
db
dt
de di'
dt
da'
dt
db' dt
de'
dz
dt
da" dt
db'' dt
de' dt
Comme les axes fixes sont arbitraires, il nous est permis de supposer que leur position soit celle qu'occupe le système mobile des axes Oxi , Ojti , O Zi , au bout du temps f,
position dont ce dernier système s'écartera après le temps f .
4 • djc dy dz • • i
Alors—; ~-ï — deviennent les composantes Ui, Vt, w„
de la vitesse u parallèles aux axesOxi, Oy\^ Ozi, au bout
du temps t, pourvu qu'on prenne les valeurs de — > —>•••>
dans cette hypothèse. Or les relations (a) donnent, quels que soient les axes fixes,
ada -^ a' du! -\- a" da" =: o , bdb-hb'db'-hh^db^^Oj cdc -h c'de' -4- c''dc' = o,
tidb -h a'db' + a'db" -h bda -h b' da' -f- b" du" = o, adc -^ a' de' -f- a" de" -4- cda -f- e^ da' -f- e" da'''= o, bde -t- b'dc' 4- b"dc" -h cdb -f- e'db' -4- e" db" = o.
Si Ton suppose que ces axes fixes coïncident avecOxi,
CVHqVASTÏSME LEÇON* ^ij
Ojij Ozij au bout du temps /, on a alors
a =r. l y 6=0, c=o, a' z= Oj ^'=1, (/ ::= Oy a'^=zOj ^"=rO, 6^=1^
et les équations qui précèdent deviennent
da =Oj db ^ da' = o, db' =r: o , de ■+- da" = o , dc"= o, dc'-^ db''=i o.
On aurait les mêmes résultats en différentiant les équations (3)»
Posons
db" dtf
de da'
da' db
dt dt P'
dt dt ^»
dt- ■57-'"'
nous aurons
(5 ) a, = qzt — rri > «'i = rx^ — pzi , «•, = ;>r, — y^,.
Ces quantités p, Çj r déterminent le déplacement après le temps dt des axes Oxi , Oj^i, O^i , liés au corps, car leurs directions nouvelles après le temps dt que nous désignerons par Ox', Oy^ Oz\ font avec celles qu'ils ont aubout da temps t et qu'on vient de prendre pour axes fixes, les angles qui ont pour cosinus a + da^ b + db^ . . . , en faisant
a = i, da = Oy b=:Oy db =: — rdtj.,.f
c'est-à-dire qu'on a
cosXtOa/=za -f-£/o = i,
cosXjOj^ =:db •= — rdi,
cosx,0 z' = de = qdtf
cosjiOx' = da' = «//, (6) {cosj,Oj' — j,
"cos/|0 z' zrzdd = — pdlf
coszi Oa/ = da" =1 — qdtj
cosz, Oy' = db''z=ipdtj
COSStO»' =!•
a38 cou 18 DE MÉCÂMIQUE.
644. Si Ton reprend des axes fixes quelconques Ox, Ojy Oz, les lignes Ox, et Oy feront avec eux des angles ayant pour cosinus a, a', a'', et J H- db,l/-^ db\ i'^-t- r/A'; on aura
cosx, oy = — /t3&= « (^ -h <^^) -h «'(^' ^ i/^') -h «"(^"-f-rf*"),
ou
( 7 ) ^rdtz.- adb H- o' db' -h a^if^'^,
et aussi
rdt -- cos/jOj:' — (<i -h <3^^) 4- b' [a' -+- ^«') 4- ^"(rt* -f <fc'),
(8) rdt =bda-^ b'da' 4- b"da\
On aura de même les expressions de pdt et de qdt pour des axes fixes quelconques.
AXE I^STÀltTANÉ.
B45. Les points du corps dont la vitesse est nulle à Tépoque t^ se trouvent sur une droite donnée par les équations
^s. — '7i = o, rr, —/?«,= o, /?/, — ^a:, = o, ou
ti —Zi — ^.
Cette droite passe par le point fixe et fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
V'A'' 4- v' -h r» Vy4-^'4-/^ V'^*4-^»4-H
Le corps tourne donc autour de cette droite pendant k ' temps infiniment petit dt. Mais la position de cet axe
GllfQUAKTlÈMB LEÇON. ^^Q
dans rintérieur du corps change d^un instant à un autre, c'est pourquoi on Tappelle F axe instantané de rotation. Les lieux des axes instantanés dans le eorps et dans l'espace sont deux surfaces coniques ayant pour sommet le point fixe O. Elles se touchent à Tépoque t suivant la droite qui est Taxe instantané actuel, et après le temps dt suivant une autre droite infiniment voisine, qui a décrit un angle infiniment petit du second ordre, pour devenir le nouvel axe instantané; de sorte que le mouvement du corps n'est autre que celui du premier cône attaché au corps, roulant sans glisser sur la surface de l'autre cône fixe dans l'espace.
046. Soit OI Taxe instantané, au bout du temps t : il fait avec les axes de Xi, j^i, Zi des angles dont les cosinus sont
COSlO^r, = .
COSlOj^i =
y/py
)lp'
OU
cosIOz, =
COSlOx, = -y COSlOj, =:-j COSlOZi = -> 6> b> OJ
en posant
On voit par ces formules que l'axe instantané peut être représenté par la diagonale d'un parallélipipède dont les arêtes dirigées suivant les axes fixes sont p, ^, r.
