MOMENTS DES QUANTITÉS DE MOUVEMENT
653. Prenons les moments par rapport aux axes Oxi, Oj'i, Ozi de la quantité de mouvement mt^ du point m, comme si c'était une force (qu'on remplacerait, dans la théorie des couples, par une force égale et parallèle appliquée à l'origine et un couple).
344 COURS DE MÉCAMIQUE*
Le moment de mv^ par rapport à Oxf est
ou
La somme des moments de tous les points du corps par rapport à Taxe O Xi est donc
Cette somme se réduit à Ap, en supposant que les axes 0x1,0/1, O^i soient les axes d'inertie principaux du corps pour le point O. Ainsi, en nommant A, B, C les trois moments d'inertie principaux du corps pour le point O, A/?, B^, Cr sont les sommes des moments des quantités de mouvement des points du corps par rapport aux axes principaux.
Dans la théorie des couples , ces moments sont ceux de trois couples agissant dans les trois plans coordonnés XiOjTi , .... Ils donnent un couple résultant dont le moment
G = ^A* p*H- B*^* -h C* r* : la perpendiculaire i son plan fait avec les axes Oxi, Oj^i, Oz] des angles qui ontpoor
cosinus TT-' -TT» TT* M. Poinsot a remarqué que ce plan
est le plan, diamétral conjugué au diamètre de Tellipsoïde central
qui est dirigé suivant l'axe instantané
En effet, soient x\y\ z' les coordonnées par rapport aux axes Ox,, Oj^i, O^i du point N où Taxe instantané rencontre rdlipsoïde central : on a
et aussi, puisque le point N est sur Tellipsoïde,
CINQUAlfTIÈMB LEÇOH* ^^S
Le plan taDgent en ce point N a pour équation
le plan diamétral conjugué à ON a pour équation ou
Apx ■+■ Bqjr -I- Crz zj=: o.
La perpendiculaire à ce plan diamétral fait avec les axes Oxj, O/i, Ozi des angles dont les cosinus sont
•^> -p- j -jpr • Donc ce plan est celui du couple résultant.
654. Si l'on prend des axes fixes quelconques, on aura la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à Taxe Ox d*après les lois connues de la composition des moments ou des couples^ en multipliant les moments Ap^ B^, Cr relatifs aux axes Oxi, O^i, Oz^ par les cosinus a, &, c des angles que Ox fait avec ces
axes et ajoutant, c'est-à-dire que
\ m[« ^ — x-^\ = Apa' + 'Bqù' + Crc', ^« (* g - 7 ^) = Apa'-t- 87^"+ Crc"
HELÂTIONS BlfTllE LES COSINUS a, by.,. ET LES COHPOSAJfTES
