On déduit des équations (a
pda H- qdb -f- r^/c =:r o, pda' -4- y^/6' -t- r£/c' n o , pda" -^ qdb" -^ rdc^ zzz o,
formules qui servent à vérifier Tinvariabilitë de l'expres* sion ap'\-bq + cr quand PjÇy r sont des constantes.
Les diflérentielles da^ db, de sont les projections sur lei axes Oxi, Oj^i, Ozi, du déplacement du point prissv l'axe Ox à Tunité de distance de l'origine. Ce déplacement a pour valeur yjda^ 4- db^ H- dc^ . En remplaçant da^ dhy de par leurs valeurs tirées des équations (a), ob aura
ou
dt ^[br — cqy-\-[cp — ar)* -h (aq — bp)\
dt sj{a^ -\-b^ -\- c') [p^ -f- ç» 4- r») — [ap -f- Ay 4- cr)\ = at ^«» — »^ cosUOx = fla<£rsinIOx.
cinQUÀirriÈME leçon. a47
La direction de ce déplacement est perpendiculaire au plan lOx, car les formules (a) donnent
ada -\- bdb H- edc = o , -da -\-- db '\ — £fc=:o,
OA oa b>
équations qui expriment que la direction du déplacement est perpendiculaire aux droites Ox et 01.
VALEURS DE p, ^, TEIf FONCTION DES ANGLES ({^, f et 6.
657. La position du corps par rapport aux axes fixes Fig. i^f. dépend des angles
LO X, = ç,
OL étant la trace du plan XiOj^, sur le plan xOy.
Supposons que L^ x^y^ z, Xj , . . . , soient les intersections des droites OL,
O j:^ • . . , avec une sphère de rayon égal a l'unité : on a,
dans les triangles spkériques LxXf, Lx/i,
I cosxOx, T^a z= — cosô sin^* sin ^ -+- cos^* cosç j { cosxO^i z= b z=z — cosG sin>p co5<p — cos^* sinç.
Changeant tf' en ^ + 90^, on a
cosj^Ox, z=r a' = cosô cos'j» sinç -f- sin^* cosç, ( cosjrOj'i —- b' = cosO cos^* cosy — sin 4* sin ^ .
Le triangle sphérique Lxzi, en observant que T angle xL^i = 90** — 6, donne cosxOzi et cosj'Ozt ou
(3) c = sin 0 sin \|;, c'rrr — sinOcos>{;. Enfin le triangle luzx^ donne
(4) û'^^sinôsiny, ^"msinôcosy, c" = cosô.
a48 COURS DB HÊCAKIQUB.
Substituons les valeurs de a, 6, • . . en fonction de<^, (f , 0 et leurs dilTérentielles dans les équations
f pdt = ^ bdc ^ b' dt/ ^ b'' dc^ ,
(5) 1 qdt= adc^d d(^ -^a" dtfj
\ rdtz= bda ^ b' da' -h b" da" .
Les valeurs de c, c\ c" ne contenant pas cp, celles de pdt et 9£Î£ ne contiendront pas d<^. Et comme les valeurs de b, V, b" se déduisent de celles de a, a\ cP^ en augmentant ç d'un angle droit, la valeur de — pdt se dédmra de même de celle de qdt. On aura, réductions faites,
Ipdt = sîn^ sin8c/>{f -+- cos^ </G, qdt = cos9SmBd-^ — sinff dO^ rdt = é/«p 4- cosÔ d-^ .
^ n'entre pas dans ces formules, parce que ^ ou LOx étant compté à partir d'un axe arbitraire Ox, les valeurs de p, ^, r ne doivent pas changer quand on augmente cet angle d'une quantité constante.
658. On peut arriver encore à ces formules par la théorie de la composition des rotations [*) en vertu de laquelle la projection de la résultante de plusieurs rotations sur un axe est égale à la somme des projections des rotations composantes, chaque rotation étant représentée par une longueur prise sur son axe et proportionnelle • sa grandeur. Il en résulte que la rotation tùdt du corps autour de Taxe instantané équivaut aux trois rotations successives pdt^ qdt^ rdt autour des axes Oxi, Oj^i, Ozx,
(*) Cette composition, analogue à celle des forces, repose sur le thé^ rème suivant : 5/, par deux causes quelconques, un corps tend k la fois ' prendre deux rotations représentées par les deux côtés d'an parallékh grammcy le corps prendra une rotation unique représentée par la diago»*le de ce parallélogramme. Voir PoiifSOT, Théorie nouvelle de la rotatioa da corps. Journal de M. Liouville, t. XVI (i85i), p. 9. {Voir la Note III placM à la fin du Tolume*}
CI»QUÀlfTlkHE LEÇON* ^49
et aussi aux trois rotations successives du corps autour des lignes O 2, OL et O^i, indiquées par les dilTérentielIes dtp, dO et d(f. En outre pdt étant la projection sur Taxe Oxi de la rotation fùdt, on a
pdt-=i <^0cosLOx, •f-</>j^cos2 0j:, H- d^co^ZxOxi = cosf ^0 4- sinGsin^ ^/^'y ensuite
gdt= rfôcosLOj, ■+- d^coszOjTi ■+- dtfCOSZiOxt = — sin^ Jd + sindcosf €/i{i; enûn
rdi = dB cosLOzx -+ d^coszOzi 4- ^«pcosZiOzi
Doy. Keciproquemeiit on peut trouver — - > "^ ®^ "tt
eu fonction de p^ q, r. Les rotations dO, d^, d(f se font autour des axes OL, Oz, Ozf.
D*abord la somme des projections de ces rotations sur OL est do : on a donc
dQ =z pdtcosLOJc^ -h gdtcosLOxi ■+■ rdicosLOii,
d'où
dB
on trouvera ensuite
sinô -y- = /)Sinç -f- 7COS99
sinô -~ = rsinG — psmtfCOsB — ^cosycosO.
a5o COURS DE MÉCANIQUE.
CINQUANTE ET UNIÈME LEÇON
ROTATION D'UN CORPS SOLIDE AUTOUR D'UN POINT FIXE (suite). — MOUVEMENT D'UN œRPS SOLIDE LIBRE.
Équations du mouvement. — Cas où il n*y a pas de forces motrices. — Plan invariable. — Mouvement de l'ellipsoïde central. — Lien des ixcs instantanés dans le corps. — Lieu des axes des couples résultants. — Mouvement d*un corps solide entièrement libre.
