L'équation

^ ' dt' dx^

a pour intégrale générale

(2) y — r^[x-\-at)-^^[x'-at)y

xf eX^ étant deux fonctions arbitraires qu'il s'agit de déterminer. Pour cela il faut connaître à l'origine du temps la courbe formée par la corde et la composante de la vitesse de chaque point parallèle à Taxe des j^.

27a C0UH8 DE M^AKIQUB.

Soit donc pour t = o,

Introduisant cette hypothèse dans Téquation précédente et dans sa dérivée par rapport à f, on aura

De cette dernière on tire

Intégrant cette équation par rapport à x et posant, pour abréger,

il vient

lf/,(x)dx = F{x),

ç(x) — 4.(x) = F(x)-hC.

Des équations (4) et (7) on déduit

Substituant x -hatk x dans cp (x) etx — at dans y (x), puis faisant la somme des deux fonctions, on aura la valeur de ) , où C n'entrera pas.

687. Mais il faut remarquer que par les deux dernières équations les fonctions cj et \^ ne sont connues, comme f(x) et F(j:), que pour des valeurs de la variable x comprises entre zéro et l] or on a besoin de les connaître au delà de ces limites, car x devant être remplacée par X -h at et x — af , ces nouvelles variables pourront

CllIQUAirTE -DEUXIEME LEÇOlf. ^^3

dépasser les valeurs zéro et /, puisque le temps t peut croître indéfiniment. Pour déterminer les fonctions f et ({f au delà de ces limites, nous allons exprimer que les points A et B sont immobiles.

Pour le point A on aura, quel que soit tj

f (at) -h ^( — at) = o.

Posant at = ^, cette condition devient '(9) ?W-*->!'(-Ç) = o,

Pour le point B on aura aussi, à un instant quelconque, (lo) ç(/H-;)+^(/-Ç)=o.

? (C) ^^ ^ (C) ^^^^ connues pour les valeurs de Ç comprises entre zéro et /.

La dernière condition donne

4* (/ — ^) est connue pour les valeurs de Ç comprises entre zéro et /, puisque / — ^ se trouve alors comprise entre les mêmes limites. Donc ^(^-h^) sera aussi connue pour les mêmes valeurs de Ç, Par conséquent, si Ton pose

? (CO sera connue pour les valeurs de Ç' comprises entre /et 2I, Mais cette fonction étant déjà connue pour les valeurs de ^' entre zéro et /, le sera donc pour toutes cdles comprises entre zéro et il,

688. Si dans la condition (9) on remplace ^ par / -H ^, elle devient

MaiA

Stokv. — Mée., II. 18

GS9. L'auire fonction ^ est donni

elle e»t périodique, comme la prenù^re, e aussi 2/. En effet, l'équalion précédente d

d'où, puisque <f(a/+ ^) =Y(f) ^—<^{^

■M- ^) =♦(-='- cjij

En posant — a / — f :^ Ç', on a doac H

690. 11 résulte de cette discussion que, J de 2/ ou ( de —1 l'ordonnée j' reprend la

de même que la vitesse -=-■ H en est de

de -r- Donc la coidc fait uue suite de vil

égales et isochrones doui la durée est — ■