NOEUDS DE VIBRATION

693. Il y a des cas où la corda, en raison de son état initial, se partage, pour ainsi dire, spontanément en

a^â COUAS OE MÉCÀBIQÎIB.

un certain nombre de parties égales vibrant à Tunissoii et dont les points de séparation, appelés nœuds, restent immobiles pendant la durée du mouvement. Alors le sqq s'élève proportionnellement au nombre de ces parties. Nous allons en donner un exemple. Reprenons Téquatioii

— ri = a* — ^

Les dimensions et la tension de la corde étant donnés, on peut disposer de sa figure et de la vitesse initiale de chacun de ses points, de telle sorte que son mouvement soit représenté par une équation de la forme j = dX, 6 étant une fonction de t et X une fonction de x seulement. En effet, pour que Téquation (i) soit vérifiée, il faut que Ton ait

X dx-

a^ 0 dt^

Comme le premier membre est fonction de x seulement et le second de f, Tégalité ne peut avoir lieu qu'autant que les deux membres se réduisent à une même constante — Â*. On aura donc

dx"

Comme on ne veut qu'une intégrale particulière, prenons

(4) X = sinXx.

La fonction B se déterminera ensuite par Téquation

d'où l'on tire

dt'

6 = G cos0^/ + C ûnakt ,

cinquaute-dedxieme leçoh. 277

et, par suite,

'•>. ^ = 8inA:x{Ccos£i^f -f- C'sinflX/).

En faisant t = Oy nous aurons pour la figiure initiale de là corde

(6) ^ = C sin X\r

et nous pouvons faire que la vitesse initiale soit nulle, en supposant nulle la constante C^ Le mouvement de la corde est alors représenté par Téquation

{ 7 ) jr z=CsmA'x ces aÂt.

II faut encore exprimer que les points A et B restent toujours fixes. Or pour a: = o, on a bien j^ = o, quel que «oit f ; mais si Ton veut que j^ = o, quel que soit f, pour jc r=: /, il faut faire W= mir, m étant un nombre entier

quelconque ; on en déduit k == --- > et le mouvement de

la corde est représenté par Féquation

-^* , . frnzx Muitt

(o) jr = Csm — — ces — - — •

Ainsi la corde ayant, sans vitesse initiale, la forme

de la courbe r = C sin — -— > si on l'abandonne à elle-

même, elle effectuera une suite indéfinie de vibrations isochrones dont la loi est donnée par Téquation (8).

694. On sait quej^ doit être une fonction périodique du temps. En effet, ici, j^ reprend la même valeur quand t

croit de • Ainsi dans cet exemple y et ^ sont les

ma ^ ^ dx

1 a/ mêmes quand le temps augmente de la période ? et

le nombre de vibrations effectuées dans Tunité de temps

sera m —p c'est-à-dire m fois celui qui correspond au

278 COUES DB irtCAllIQVB»

son le plus grave de la corde, déterminé par la théorie générale.

695. Nous allons démontrer que dans i^e cas la corde se partage spontanément en m parties ^ales qui vibrent comme si elles étaient séparées, de sorte qu'il y aun m — I noeuds de vibrations. En effet, on obtiendra tous les points qui resteront immobiles pendant toute la dmée du mouvement en posant

. ntrejc i ,

sm = 0 ou x= — /,

I étant un nombre entier quelconque plus petit que ai. On en conclut que j" est nulle pour les yaleurs de x

l il m — I

o, — J — î***? — — / , i. mm m

quel que soit f.

On pourrait, sans considérer un exemple particulier, choisir les fonctions /(x) et/l(x) telles, que 9 (^) et ^[^) redeviennent les mêmes, non-seulement lorsque ( croît de 2/, mais encore lorsque cette variable croit d*ua

sous-multiplc quelconque — de a/. On en conclurait

comme ci-dessus l'existence de m — i nœuds de vibration.

VIBRATIOirS LONGITUDINALES.