ËQUIUBRE DUNE MASSE FLUIDE

Notions préliminaires. — Pression d^un liquide sur une paroi. — Égalité de pression en tous sens. — Équilibre d'un fluide incompressible. — Équations générales de l'équilibre d*une masse fluide.

nOTIONS PRÉLIMINAIRES.

698. L'hydrostatique a pour objet les lois de l'équilibre des fluides. Un fluide doit être considéré comme un assemblage, en apparence continu, de molécules matérielles qui cèdent au moindre eflbrt tendant à les séparer les unes des autres.

Les fluides que la nature nous présente approchent plus ou moins de cet état de fluidité parfaite. Il existe ordinairement entre les molécules de ces substances une certaine adhérence qu'on appelle viscosité. L'hypothèse d*une mobilité parfaite pourrait conduire à des résultats peu conformes à l'expérience dans le cas d'un fluide eu mouvement : mais si l'on excepte quelques liquides où la viscosité est considérable, les lois de l'équilibre auxquelles nous parviendrons en supposant les molécules parfaitement mobiles et sans aucune cohésion, s'appliqueront sans erreur sensible aux fluides naturels.

699. On distingue deux sortes de fluides, les liquides et les gaz ou fluides aériformes. Les liquides ne se com-

a8S GOIIKS SB HtCUnQDB.

priment que sods des pressions irès-cotksîdénbles et mu appelés souvent pour cette raison fluides incomçraùhles. \jtsjluidet aériformes^ qui se divîseot en gu permanents et en vapenn, sont compressibles etdooés, dus certaines limites, d'une grande élasticité : c'est poaiqM on les nomme aussi ^ui'^^ élaitùfues.

PBESsiOH n'en liquide kok ohb pakoi.

700. Quand un fluide contenu dans un vase onfcn ou fermé de toutes parts est en équilibre sous l'action Je forces quelconques, il eKeire une pression sur clia^ portion des parois du vase qui le rciifenue. Cette p(» sion peut varier d'un point à un autre. Pour la définir* la mesurer avec précision, on considère un point M deli surface du vase et une portion ïnQninient petite «de cette surface comprenant ce point. Le fluide exerce sur cette petite surface u certaines actions dont la résultinlt peut être représentée par pw, si l'on imagine une tin plane cgiilo à l'unité de surface et dont tous les élément égaux n ùi supportent la même pression que u. La qaïalîté^ est ce qu'on nomme la pression au point M. En d'aulres normes, la iiressiori au imint M sera la limi"

cihquâhte-thoisiême leçoh. a83

l'un sur Tautre que des actions normales quand leurs surfaces n^ont aucune adhérence ni frottement.

Cette notion s'applique à une portion intérieure d'un fluide, car Féquilibre ne serait pas troublé si Ton supposait une portion quelconque du fluide solidifiée. On peut donc, en un point quelconque de l'intérieur, supposer une paroi plane solide, et il y aura sur chaque élément de cette surface une pression toujours perpendiculaire à son plan. U y a égalité de pression en tous sens pour un même point, c'est-à-dire que si Ton considère une surface infiniment petite co passant par un point M pris à volonté dans le fluide, la pression exercée par le fluide sur chaque face de Télément co sera toujours la même, quelle que soit la position que l'on donne, à l'élément o), en le fai~ sant tourner autour du point M.

Pour démontrer ce principe, faisons passer par le point M deux plans quelconques; prenons sur leur intersection une longueur MN trèspetite, et menons dans ces plans perpendiculairement à leur intersection les quatre droites MI, NK, Ml', :NK' égales à la longueur MN. Il s^agit de démontrer l'égalité des pressions p et p' rapportées à l'unité de surface que le fluide exerce sur les surfaces planes égales MIKN, MFK'N.

La masse fluide contenue dans le prisme droit MIFNKK' sera encore en éqoilibre si on la suppose solidifiée. Les i pressions que le fluide extérieur exerce contre les cinq faces de ce prisme, perpendiculairement à ces faces, font équilibre aux forces (analogues a la pesanteur) qui sollicitent toutes les molécules intérieures. Donc la somme de leurs composantes parallèles i un axe quelconque est nulle.

Menons par le point M un axe ML parallèle à la droite II'. Le fluide exerce sur les deux surfaces planes MIKN

a84 COURS DE MÉCANIQUE.

etMl'K'N, que nous désignerons par a> et ta' et qui sont égales, des pressions po) et p^tù' dont les composantes soi* vaut Taxe ML sont ptù cosa eip't»' cosa'; a et a' désignant les angles que les normales à ces deux plans on aux droites MI, MF, font avec ML. Ces angles sont suppléments l'un de l'autre. Les pressions normales aux autres faces MU', NKK' et IKK'l' ont leurs directions perpendiculaires à ML et par conséquent ne donnent pas de composantes suivant cette droite. Quant aux forces qui agissent sur les molécules intérieures, nous désignerons par X la somme de leurs composantes parallèles à ML.

La somme de toutes ces composantes devant être nulle,

on a

p 6» cosa -H />' »' COSa' 4- X = o

ou

(P — />') cosa H = O,

à cause de

« — w', cosa — cosa'

Si la longueur MN diminue indéfiniment, a> décroît comme le carré de MN et X décroît à très- peu près comme le volume du prisme ou proportionnellement aa

cube deMN. Donc— tend vers zéro; d'ailleurs cosa est

constant. Donc p et />' tendent vers régalité quand les

surfaces égales o) et w' tendent vers zéro. D'ailleurs cosa

est constant; les valeurs de p et de p' tendent vers des

limites déterminées qui, d'après l'équation, doivent être

égales', de sorte qu'on a p =p\ quand les surfaces ^ales

o), 0)' deviennent infiniment petites.

ÉQUILIBRE d'un FLUIDE IMCOMPRESSIBLE.

702. Supposons un liquide incompressible contenu dans un vase polyédrique ABCDE. Plusieurs parois sont

CINQUANTE-TROISIEME LEÇON. ^85

percées d'ouvertures «, «', a'',..., sur lesquelles sont

ajoutés de petits cylindres ayant leurs arôtes perpendi-

Fig. 179. culaires à ces parois. Si Ton

imagine jdes pistons qui peuvent se mouvoir dans rintérieur de ces cylindres, les forces P, P', P",...

nécessaires pour les maintenir, quand il y a équilibre, sont égales aux pressions exercées par le liquide contre leurs bases. Nous nous proposons de vérifier, dans cet état d'équilibre, le principe des vitesses virtuelles.

Concevons que l'on fasse mouvoir simultanément tous les pistons; soient A, h'^ hl\, . ., les espaces qu'ils parcourent, ces espaces étant regardés comme positifs ou négatifs, selon que les pistons entrent dans le vase ou en sortent. Le liquide étant supposé incompressible, tous ces déplacements virtuels sont liés entre eux par l'équation

ah H- a' h' -f- a" W -+-... = o.

Multiplions cette équation par la pression p exercée contre les parois et rapportée à l'unité de surface; en observant qu'on a

V = paj V'=zpa\ P" = )5rt%...,

il viendra

ce qui est l'équation des vitesses virtuelles dans cet exemple particulier.

On pourrait étendre ce principe au cas où il y aurait des forces motrices agissant sur les molécules du liquide, mais la démonstration est compliquée et il vaut mieux chercher directement les équations générales de l'équilibre des fluides, comme nous allons le faire.

COURS DE MéCAHIQUX.

ÉQUILIBRE d'une MASSE FLUIDE.

703. Soient Ot, Oy, Oz trois axes rectangulaires, ce ^»e- '^« dernier étant vertical ci

p- dirigé dans le sens de la pesanteur. Nous faisons cette hypothèse, paître que nous appliquerons nos formules principalement aux fluides pesants. En deux points infiniment voisins m {x,jr, i) et e (x-h dx^ y -f- dy^ z -^dz) construisons' on partilélipipède en menant par ces deux points six plans parallèles deux à deux aux trois plans coordonnés. Soient f la densité du fluide au point m et P la force mouice rapportée à Tunité de masse, qui sollicite chaque moléciile de ce parallélipipède infiniment petit. Si dm est h masse de celui-ci et X, Y, Z les composantes de la force P, ILdniy Y dm, Tjdm seront les composantes de la force motrice. Enfin désignons par p la pression rapportée i Tunité de surface qui s'exerce au point m et qui est Ii même tout autour de ce point.

Si Ton suppose solidifié le fluide contenu dans le petit parallélipipède, Téquilibre ne sera pas troublé. Il faudra donc que les composantes des forces parallèles aux trois axes se détruisent entre elles. Ces forces se composent des forces motrices Xrfm, Y dm^ Z dm et des pressions exercées par le fluide environnant sur les six faces du parai* lélipipède. Considérons d'abord les pressions qui s'exercent verlicalemeut sur les faces mabg et cdef'^ elles agis* sent en sens contraire. La première est égale à pdxdjr, la

seconde klp-\- -y- dz\ dxdj'y leur résultante parallèle i

Oz est égale à r dxdydz ou à Ç- dm. On a donc

^ dz "^ p a»

^ dm -h Zdm = o

p dz

ClHQUAIITE-TnOISIÈHE LEÇOH. 287

OU

On aurait deux autres équations analogues à celle-là; on a donc

Ainsi les dérivées partielles de la fonction p sont égales à /sX, pY^ joZ. La différentielle totale de la pression est donc

(2) dp:=^[lLdx^'Ydx-JrZdz).

Telle est la formule qui donne l'accroissement de pression lorsqu'on passe du point (x^rt z) au point infiniment voisin {x-\- dx^ y-{- dy, z^dz). Comme p doit être imc fonction de x^y^ Zy le second membre de Téquation précédente doit être une différentielle exacte et, par conséquent, s'il y a équilibre, on a nécessairement

d{pX)^d{pY)^ d{pX)^d(pZ)^ d(pY)^d{pZ) djr dx dz dx dz df

L'expression p (Xcfx -4- Yrf^ -+- T^dz) étant alors la différentielle exacte d'une certaine fonction^ (x, j^, -z), on a

C étant une constante qui sera déterminée quand on connaîtra la pression ;?o en un point particulier (xo,j"o» ^o)» Il faudra en outre que, si l'on imagine une courbe fermée passant par un point m (x^j^ z) la fonction y*(x,j^, z) reprenne la même valeur lorsqu'on reviendra au point m, puisqu'on doit retrouver la même pression.

704. S'il n'y a pas de force qui sollicite les molécules intérieures, la pression sera constante dans toute la masse du tluide, de sorte qu'une pression extérieure exercée sur une partie du fluide adjacente a une paroi du vase doit se transmettre avec la même intensité sur des éléments de

2l88 COURS DE MéClHIQUE.

surface équivalents dans toute la niasse et sur toutes les parois.

705. On appelle surface de nweau une surface dont tons les points éprouvent la même pression. La formule (4) montre qu'elles sont toutes comprises dans l'équation

a étant une constante. Si l'on fait varier cette quantité d'une manière continue, on obtient une infinité de surfaces. Une couche de niveau est la niasse du fluide comprise entre deux surfaces de niveau. L^équation f{x^y,z) = a montre que deux surfaces de niveau ne peuvent pas se couper.

706. La force motrice est normale à la surface de nivein en chacun de ses points. En eflet, soit P cette force, oa a, en tout point de cette surface,

d'où, en divisant par Pds^ ds étant un petit arc tracé sur la surface,

équation qui montre bien que la force P est perpendiculaire à tout clément de courbe tracé sur la surface et passant par le point m.

707. Si la pression est nulle ou constante en tous les points de la surface libre d'un fluide, celle-cî est une surface de niveau. Dans un liquide il peut se faire qu*il ny ait pas dépressions extérieures. Il n'en est plus de même dans les fluides élastiques. Ils ne peuvent avoir de surface libre, ou sur laquelle la pression soit nulle^ parce que la pression est liée à la densité par Téqualion ^=i's. h étant une constante dont la valeur dépend de la température, en sorte que pour qu'il n'y eut pas de pressioo dans une partie de la masse, il faudrait qu'il n*y eût pu

ClflQUAKTE-TROISlÈlffB LEÇON. aSp

de matière en cet endroit : c'est ce qui explique la nécessité de maintenir les gaz dans des vases fermés de toutes parts.

7U8. Reprenons Téquation

dp = p{X€Lr -f- Ydx -f- Zdz).

Supposons que Hdx -f- Yd)^ -+- Zdz soit la différentielle exacte d'une fonction ç (x, jTj z)jce qui arriverait, par exemple, si les forces motrices provenaient d actions mutuelles entre les différents points de la masse fluide ou si ces forces étaient constamment dirigées vers des centres fixes. On a dans ce cas

(5) dp7=:pd^.

Il résulte de là que p est une fonction de (f comme on Ta vu dans le calcul intégral ; il en est de même de p et par conséquent p est fonction de p. Donc en tous les points d^une surface do niveau la densité est constante, puisque la pression est constante.

709. Dans les fluides élastiques on peut déterminer d'une manière générale p et p en fonction de f • On a, dans ce cas, p = kp'^ le coefficient k dépend de la température : si celle-ci est constante dans toute l'étendue de la masse, k est une quantité constante. Alors, à cause de dp =z pdc^y on a

dp I

d'où, en intégrant,

p Ce'',

et' ensuite

Si la température n'est pas la même dans toute la masse fluide, Téquation (6) fait voir que k est une fonction de f

Sturm. — Mée., II. '9

QpO COUnS DE MÉCA.»IQUE.

ainsi que p, et par conséquent la densité et la température doivent être constantes pour tous les points d'une surface de niveau, mais variable d'une surface àTautre. On aura

fi? p c Çi^

Considérons, par exemple, Tatmosphère qui enveloppe la terre et faisons abstraction du mouvement de rotation de celle-ci. La force motrice d'une molécule m de l'atmosphère est une force toujours dirigée vers le centre de la terre et la même à égale distance du centre. On condot de là qu'il ne peut y avoir équilibre, si la température n'est pas la même à la même distance du centre, et que les surfaces de niveau doivent être des sphères ayant leur centre au centre de la terre, puisqu'elles doivent être normales en chaque point à la direction de la force motrice.

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CINQUANTE-QUATRIÈME LEÇON