DANS LES FLUIDES

Figure permanente d'un fluide tournant autour d'un axe. — Pression d'un liquide sur le fond d'un vase qui le renrerme. — Équilibre de plusieurs liquides contenus dans le même vase. — Vases communiquants. — Principe d'Archimède.

FIGURE PERMANENTE d'uN FLUIDE TOURNANT AUTOUR

d'un axe.

710. Supposons un fluide pesant, contenu dans un yase de forme quelconque, tournant d'un mouvement uniforme autour d*un axe verticdl Oz. Au bout d'un certain temps la masse fluide prend une figure permanente d'équilibre qu'il s'agit de déterminer. Soient X, Y, Z les composantes de la force accélératrice P d'un point quelconque m, La molécule m décrit une circon* férence de cercle autour de Taxe Oz, et sa force effective est la force centripète mroi)*, «étant la vitesse angulaire et r le rayon du cercle. D'après le principe de d' Alembert, il y aura constamment équilibre entre les forces motrices . et les forces centrifuges de toutes les molécules du fluide, c*est-à-dire que ces forces ne troubleront pas le mouvement commun de rotation uniforme en déplaçant les molécules les unes par rapport aux autres. Donc en appliquant à l'état d'équilibre actuel l'équation (a) du n^ 703 et observant que les composantes de la force centrifuge sont /nxw', mytù^ et o, on a

Or, si les forces motrices se réduisent à la pesanteur, on a

»S^ COVBS DE HÉCAIttQOS. .

X = o, Y = o, Z = — ^, et il Tienl

d'où, en înlégrant et représentant la consunle par gpC,

En donnant à p des valeurs constantes, on aura diScrentes surfaces de niveau. Leur équaiion peut a^éciîre

Elle représente un paraboloïde de i évolution dont la pirabole méridienne a pour équation dans le plan des zx

Cette parabole ne change pas de grandeur avec p, mais la positiondeson sommet surl'axedc rotation est variableavK p, car il est à un distance de l'origine égale à C — ~

71 1 , Les surfaces de niveau sont donc toujours des panboloïdes, quelle que soii la fornicdu vase, et celle de la surface supérieure qui termine le fluide. Dans tous les cas on déterminera la constante C en exprimant que le volume du liquide est donné. Supposons, par exemple, qM le liquide soit contenu dans un vase cylindrique «nm pour base sur le plan xOy le cercle dont le rayon est a et quei soit la hauteur de la partie du cylindre occupée par leliquideavant le mouvement. Son volume est na*6.Sa^ posons en outre que la surface libre supporte simplennl la pression atmosphérique constante représentée par s. Elle sera alors une surface de niveau. Il est facile d'évaluer le volume correspondant du liquide terminé par celU surface de niveau en le décomposant eu tranches cjtin-

CIIYQUAIÏTE-QUATRIÈME LKÇON. apS

driques ayant Taxe des z pour axe. On aura donc en remplaçant z par sa valeur déduite de (a),

on aura une équation qui fera connaître C. On trouve ainsi

PRESSION d'un liquide SUR LE FOND DU VASE