MOUVEMENT DES FLUIDES
Équations générale du mouTemeDt des (laides. — Mouvement dans und hypothèse particulière. — Mouvement permanent d*nn fluide.
ÉQUATIOnS GÉNÉRALES DU MOUVEMENT.
739. Les équations d'équilibre des fluides sont fondées sur la propriété qu'ils ont de transmettre également en tous sens les pressions appliquées à leur surface, et sur celle d'exercer sur chaque élément de surface autour d'un point quelconque de leur masse, en vertu des actions moléculaires, une pression égale en tous sens et normale à Télément de surface qui le supporte. Certains faits semblent indiquer que cette dernière propriété n'a pas toujours lieu quand le fluide est en mouvement, c'està-dire que la pression peut n'être pas normale à l'élément sur lequel elle s'exerce, ni être la même dans toutes les directions autour d'un même point. Cependant on peut admettre que cette propriété des fluides a encore lieu, quand le mouvement n'est pas très-rapide, les expériences s' accordant assez bien avec les résultats qu'on déduit de cette hypothèse.
Quand on veut déterminer le mouvement d'un système de points dans l'espace, on se propose ordinairement de trouver des équations qui servent à exprimer les coor-
Stobu. — Méc.^ U. 21
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données de chaque point en fonction du temps. Mais, au lieu de suivre dans son mouvement une seule et même molécule, il est plus avantageux de déterminer la vitesse de la molécule fluide qui, au bout d'un temps quelconque, passe par un point pris à volonté dans Tespace occupé par le fluide, ainsi que la pression et la densité du flaide en ce même point, qui reste fixe. Soient x, j^, z les coordonnéffs d^un point m ; fx la masse de la molécule fluide qui se trouve au point m après le temps f. Désignons par X, Y, Z les composantes, rapportées à Puni té de masse, de la force. qui agit sur la molécule /a. Les composantes de la force motrice seront Xjx, Tjx, Zfx. Il faudra cinq équations pour déterminer les composantes ii, v^ w de la vitesse du point, sa pression p et sa densité p.
740. Le principe de d'Alembert fournit d^abord trois équations. Soient u^ dt^ \f*di^ w'dl les accroissements de M, P'. w^ lorsque le temps t augmente de dt. Les composantes de la force perdue sont (X — "') F> (Y — ^')h
(Z — w') a, et celles de la force effective -^ — ? -~ -^ -^-• ^ ' '^ dx p dy p di ^
Donc, diaprés les équations d'équilibre des fluides, on aiu«
Pour obtenir m', i^\ w\ on doit différentier li, i', u*, en regardant x, y^ z comme des fonctions de t^ dont les accroissements sont udt^ vdt^ wdt, en sorte que dx = udt^ etc. On aura donc
, du du du du
tt' =: \- u — -f- c -— -f- cr — ,
dt dx dy tiz
. . . . dv dv dv dv
^ ' * dt dx dy cU
dof dw dw div
«/ = -; \- u -^ hc hw 1
dt dx dy <U
CinQUANTE-SniÈME LEÇOH. 3^3
et, par conséquent,
p dx at dx djf dz
.«» , ^ dp „ dv dv dv dv
3 ;--f-=Y— — — tt- — P-3 — cv— ,
^ p « r a^ dx djr dz
l dp div dw dw dw
p dz dt dx dy dz
741 . Il reste encore à trouver deux équations d'équilibre ou une seule si p est constante. Nous trouverons cette équation en exprimant que le fluide est continu.
Concevons dans Tespace occupé par le fluide un petit parallélipipède nie [fig* i8o, p. 286). Â chaque instant une partie du fluide sort de ce volume, et une autre y entre. La masse du fluide contenue dans ce parallélipipède, pdxdydz^au temps t, devient ip ^^ -f] dxdy dz au temps t + dt. ^accroissement de masse est donc -^ dt dx (fy dz. En vertu du mouvement il passe par la face dj dz une tranche fluide pudtdjdz. Il passe par la face opposée une masse (pw- .— \ dtdjrdz. L'excès de la quantité qui entre sur celle qui sort est donc ^— dxdy dz dty en supposant p u constant dans toute
l'étendue de la face mabg et de sa parallèle. Or cette supposition'est permise, car si Ton considère deux points h et h pris sur les faces ind et ae, la différence des valeurs de p u en ces deux points surpasse la différence des valeurs de pu aux points m et a d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même. On obtiendrait des expressions analogues pour les quantités de fluide acquises par les autres faces. En exprimant que l'accroissement total de la
masse est égal à --p dxdydz et divisant par dx dy dz dt^
ai.
on aura donc
^^' dt dx df €lz
Celle équation est conuue sous le nom adéquation de continuité.
lia. Si la densité du fluide est constante, ce qui anÎTe pour les liquides homogènes et incompressibles, Téquation précédente devient
du d» dvp
dx df dz
Elle suffit avec les équations (3) pour déterminer toutes les inconnues eu fonction de x^y^ z, t,
743. Si le fluide est incompressible, mais non homogène, la densité de chaque molécule est variable dans le cours de son mouvement; mais elle varie à chaque instant avec le temps dans un point déterminé et fixe m. La den*» site p au point m sera donc une fonclion des coordonnées de ce point el du temps; mais on peut considérer momentanément X, y^ z comme représentant les coordonnées d'une même molécule dans son mouvement. Ces coordonnées deviennent fonction de f, et leurs dérivées par rapport à celle dernière variable sont respectivement w, v^ tv. En différenliant la valeur de p sous ce point de vue, on aura donc
(5) -/- -^-^u-\~-^v-\--Pw — o.
^ ' dt dx dy dz
En venu de cette relation, Téquation (4) revient aux deux suivantes :
,^v dp du dp do
^ ' dt dx dy dz '
, y. du dç di\'
cihqvarte-sixième leçon. 3^5
qui, jointes aux équations (3), serviront à déterminer les cinq inconnues u, i^, w, p^ p en fonction de x, y y Zj t.
744. Dans le cas d'un fluide élastique et compressible, comme Tair, on aura encore cinq équations en joignant aux équations (3) et (4) la relation pzzzhp qui existe entre la pression et la densité, le coefticient k ne dépendant que de la température de la masse gazeuse.
745. Ces équations suffisent pour déterminer le mouvement si le fluide est indéfini et si Ton connaît son état initial, c'est-à-dire les valeurs de u, t^, w, p^ p en fonction de x, jTy z et pour f = o. Mais si le fluide est terminé, il faut y joindre des conditions particulières. On suppose que les molécules en contact avec une paroi fixe ou mobile y restent indéfiniment et que les molécules qui appartiennent à la surface libre ne cessent jamais d'en faire partie. Soxl f[tj x^ y j z) =zo Féquation d'une surface sur laquelle un point du fluide doit toujours demeurer. On a
f[t -h ilty je -h lidty y -{- vdiy z -h ^vdt) = O,
équation qui exprime que la molécule sera encore sur cette surface au bout du temps t + df, et qui donne
df df df df
de dx dy dz
df
Si la paroi est fixe, ~ disparait, et Téquation se réduisant à
^/ àf ^f -f.a-f--f-«'-t--fri'=:o
dx dy dz
montre que la vitesse du point est à chaque instant dirigée suivant une tangente à la surface.
11 reste à considérer la surface libre du liquide, ordinairement soumise à une pression xs qui est la même pour tous les points, mais qui peut varier avec le temps. On
3a6 COURS DE MÊCÀKIQUB.
aura pour cette surface p — o =: o, d*où
dp dp dp dp du
dt dx dy dz di
équation qui détermine C7.
746. On a considéré jusquMci x^y^ z conune étant les coordonnées d^un point déterminé pris à volonté dans Tespace occupé par la masse fluide. Si Ton veut obtenir le mouvement d'une molécule particulière, ses coordonnées x^ /, z cesseront d'être des variables indépendantes. Elles dépendent du temps, et pour les connaître il faudra int^rer les équations simultanées,
dr. dr dz
après y avoir remplacé u, p, w par leurs valeurs générales en fonction de a:, j^, z obtenues comme on Ta dit précédemment. Les valeurs de x^jy z renfermeront comme constantes arbitraires les coordonnées initiales de la molécule.
