Quand la vitesse U est devenue constante, on a

et l'équation (5) se réduit à

GIUQUAirTB- SIXIÈME LEÇOH. 33l

or, dans Tétat d^équilibre, la pression serait égale i P-hg'p(x — h) : elle est donc moindre, dans Tétat de mouvement, pour les sections telles que Ton ait ot><^ O, c^est-à-dire pour celles dont Taire est moindre que la surface libre du liquide. Elle est au contraire plus grande pour les sections dont les aires sont plus grandes que O.

752. Le volume V du liquide qui est sorti du vase au bout du temps t s^obtient en intégrant QVdt entre les limites o et t. On aura

Au bout d*un certain temps, on pourra négliger la seconde exponentielle, et Ton aura sensiblement, en mettant pour A sa valeur sj^g(i-^à) >

Le premier terme du second membre est le volume qui serait sorti si la vitesse avait été dès l'origine égale à sa limite.

HIVEAU VARIABLE.

753. Dans ce cas m et O sont des fonctions connues de h par Téquation

a désignant la distance constante de rorifice à l'origine des X. U faudra exprimer que la quantité de liquide écoulée dans un intervalle de temps dt est égale au volume compris entre les deux niveaux correspondants «u

33a GOUUS DE MÉGAIflQini.

commencement et à la fin de cet inter?alle. On a ainsi réquadon

dh nU

dt O L*équation (6) devient, en remplaçant / par a — /i,

g(a 4- ^ — /i = ma -— . -t- - ûU' ~ 1 .

^^ ' dt 'IL \œ o^J

En éliminant dt entre ces deux équations et posant U' = ^gZy on aura

dz 0 l i I \ O , .

dh m\œ 07 iwll»^ ^ '

équation linéaire qu'on sait intégrer. Lorsque z sera connu en fonction de A, on connaîtra U et par suite f • Li quantité de liquide écoulée se déterminera en calculant le volume du vase compris entre le niveau initial et le niveau variable.

754. Si l'orifice H est très-petit, Téquation (6) se réduit à

ce qui donne pour U la vitesse limite que nous avons trouvée pour £ = 00 . La vitesse que doune rexpérience est moindre que celle calculée par cette formule, dans le rapport de 0,62 à i, rapport à peu près constant.

MOUVEMENT PERMANENT d'uN LIQUinB.

755. Il peut arriver qu'un liquide soit animé d'un mouvement permanent, c'est-à-dire tel, qu'en un point quelconque la pression soit toujours la mènie et que la vitesse de chaque molécule qui passe par ce point soit aussi constante en grandeur et en direction^ d'où il siût que des molécules qui à d('S époques dilférentes occupent une incme position parcourent la même trajectoire d'une manière identique.

INQUÂKTE-SIXIEME LEÇON. 333

Le principe de d'Alembert fournit les trois équations

qui expriment que les forces perdues se font équilibre dans la masse fluide; p désigne la pression en un point quelconque m, dont les coordonnées x^j^ z sont considérées comme des variables indépendantes. La molécule fluide \i. qui passe par ce point m, au bout du temps f , a aussi pour coordonnées x^ y^ z à cette époque 5 et si Ton suit cette molécule dans son mouvement, ses coordonnées deviennent des fonctions du temps et prennent après le temps dt qui succède au temps t des accroissements qu^on désigne par dx^ dy^ dz. Les compo-

d^x d*Y d^z santés de la force effective sont-r—j —7^» — » x, y* ^

de' de* di' -^

étant, comme nous le disons, fonctions de t pour la molécule mobile que Ton considère, ce que nous supposerons toujours dans ce qui va suivre.

En multipliant les trois équations (i) respectivement par dx^ dj-y dz^ on obtient

/v , ^r . r, , V (dxd^x -^ djrd^x-^dzd'z) dp = p (Xdx -h Ydj' -f- Zdz) — p i ^— i

ou

(2) dp =1 p (Xdx H- Ydj -irZdz) — ^ </p'

V est la vitesse de la molécule [k à Tépoque t où elle passe au point m, et dp est Taccroissement de la pression quand on passe du point m au point où arrive cette molécule après le temps dt^ la pression en un même noint étant toujours indépendante du temps.

756. Cette ëqnation peut s^appliqaer i un liquide pesant, dont le niveau est entretenu à une hauteur constante et qui s^écoule hors du vase qui le contient par un orifice pratiqué à sa partie inférieure. On a pour le mouvement d'une molécule quelconque, en prenant Taxe des z vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur,

(3) dp=:gpdz pdv^.

Eu intégrant entre deux points quelconques de la trajectoire dont les distances au plan des x^' soient Zo et Zy il vient

(4) P—Po — gp(z — z,) — ^p{p^ — vl),

po e^ ^0 étant la pression et la vitesse au premier point, p Ci u au second.

757. Supposons que la surface supérieure du liquide soit plane et soumise en tous ses points à une pression égale et constante P^. Si nous faisons dans Téquation (3) Zq rrr o, Po = P07 Ic premier dcs deux points que l'on considère sera pris à la surface supérieure du liquide, et l'on aura

Je

Si le vase est percé d^un petit orifice à la partie inférieure à une distance h au-dessous du niveau supérieur, on peut admettre que tous les points qui passent par cet oriCcc ont la môme vitesse v^ en sorte que pour a: = /« il nV ait qu'une valeur de v. En désignant par P la pression extérieure qui s'exerce à l'orifice, on aura

ou

CIlVQUAlfTE-SIXlEME LEÇON. 335

en posant P^ — P = gpk^ h devant être positive ou négative suivant que P est plus petite ou plus grande que Po.

On voit que la vitesse i^^ doit être la même pour toutes les molécules situées à la surface supérieure du liquide.

Soient 0) l'aire de rorifîce et A l'aire de la section du vase par le plan du niveau supérieur : on a

car la quantité de liquide qui sort du vase par Torifice &) pendant le temps dt et qui a pour expression (à^vdt, la direction de la vitesse t^ étant sensiblement verticale, est égale à une tranche de liquide située à la partie supérieure ayant pour base Taire A et pour hauteur v^dt^ la vitesse v^ étant aussi verticale.

On a donc

et

d*où

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